이들이 동일한 지 확인하는 방법은 무엇입니까?
큐빅 방정식에 대한 위키피디아 기사 에서 루트는 다음과 같이 얻을 수 있습니다.
$-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\Delta_0}{C})$
어디 $\Delta_0=b^2-3ac$ 과 $C=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1\pm\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}$. 또한,$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$.
다른 웹 사이트 에는 또 다른 루트 솔루션이 있습니다.
$$\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}$$
나는 그것을 평가하기 위해 후자를 Wolphram | Alpha 에 넣었 습니다. 그만큼$\Delta_1$그것에서 볼 수 있습니다. 그러나 나는 그것을 찾는 방법을 모르고 이전 솔루션은 동일합니다.
답변
밝히다:
$$\begin{align*} x_N &= -\dfrac{b}{3a} \quad \text{(average of all 3 roots, x-value of inflection point)} \\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} \quad \mathrm{(x \; distance^2 \; from \;} x_N \; \text{to the 2 turning points)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a} +d \quad \text{(y-value of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \mathrm{(y \; distance \; from \;} y_N \; \text{to the 2 turning points)} \\ \end{align*}$$
(Nickalls가 작성한이 백서의 그림 1 참조 : http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf)
두 번째 표현은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N - \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } $$
또는 $h \ne 0$,
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$
당신이 제시 한 첫 번째 표현에서 우리는
$$\begin{align*} \Delta_0 & = 9a^2 \delta^2 \\ \\ \Delta_1 &= 27a^2 y_N \\ \\ C &= -3a \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N \mp \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }\\ \end{align*}$$
그래서 그 표현은
$$ x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \dfrac{\delta^2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }}$$
또는 $h \ne 0$,
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} }\right) $$
괄호 안의 마지막 항의 분자와 분모를 곱한 후 $$\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }}$$
된다
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$
그렇습니다. 실제로 찾은 입방체의 근에 대한 두 표현은 동일합니다.
이제 입방체의 뿌리에 대한 모든 고전적인 솔루션 을 버리고 대신 Nickalls가 제시하고 Holmes가 구축 한 Nickalls의 접근 방식을 배우는 것이 좋습니다.
http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf
https://users.math.msu.edu/users/newhous7/math_235/lectures/cubic_gc_holmes.pdf