iid 지수 변수 평균의 최소값

Question

허락하다 $X_1, \ldots, X_n, \ldots$ 평균이 1 인 지수 랜덤 변수 여야합니다. $\min_{1\le j < \infty} \frac{X_1 + \cdots + X_j}{j}$균일 분포 U (0,1)를 따릅니다. 누구든지이 결과에 대한 참조를 찾도록 도와 줄 수 있습니까? 감사합니다!

Answer 1

$\newcommand\la\lambda\newcommand\w{\mathfrak w}\newcommand\R{\mathbb R}$우리는 그것을 보여야합니다 $P(U<u)=u$ ...에 대한 $u\in(0,1)$, 어디 $$U:=\min_{j\ge1} \frac{X_1+\cdots+X_j}j$$ 과 $X_1,X_2,\dots$ 평균을 가진 iid 지수 확률 변수입니다. $1$. 이 최소값은 거의 확실하게 달성됩니다. 왜냐하면 많은 수의 강력한 법칙에 의해$\frac{X_1+\cdots+X_j}j\to1$ 로 $j\to\infty$, 반면 $\inf_{j\ge1} \frac{X_1+\cdots+X_j}j<1$ 같이

각 자연 $j$ 그리고 각각 $u\in(0,1)$, $$\begin{aligned} U<u&\iff\exists j\ge1\ \;\sum_{i=1}^j X_i<ju \\ &\iff\exists j\ge1\ \;Y_{u,j}:=\sum_{i=1}^j(u-X_i)>0 \\ &\iff\bar Y_u>0, \end{aligned}\tag{1}$$ 어디 $\bar Y_u:=\max_{j\ge0}Y_{u,j}$,와 함께 $Y_{u,0}=0$(물론이야). 공식으로$E e^{i\la\bar Y}=\w_+(\la)/\w_+(0)$Borovkov의 4 장 (p. 105) 및이 장의 정리 2 (pp. 106--107)의 섹션 19의 맨 끝에 ,$$g_u(\la):=E e^{i\la\bar Y_u}=\frac{(1-u)i\la}{1+i\la-e^{i\la u}}$$ 모든 진짜 $\la$. 또한$\bar Y_u\ge Y_{u,0}=0$. 따라서이 백서의 발의안 1 또는 arXiv 버전 에 의해$$P(\bar Y_u>0)=E\,\text{sign}\,\bar Y_u =\frac1{\pi i}\,\int_\R \frac{g_u(\la)}\la\,d\la =\frac1{\pi i}\,\int_\R h_u(\la)\,d\la \tag{2} ,$$ 어디 $$h_u(\la):=\frac{g_u(\la)-g_u(\infty-)}\la =(1-u)\frac{1-e^{i \la u}}{\la(e^{i \la u}-1-i\la)}$$ 적분은 주요 가치 의미로 이해됩니다.

$\require{\ulem}$

(1)의 관점에서, (2)의 적분은 $\pi i u$ 모든 $u\in(0,1)$.

이것은 이제 통합 정체성 에서 증명되었습니다 .

Answer 2

우아하고 더 일반적인 결과는 지수 순서 통계의 Renyi 표현에서 파생 될 수 있습니다. 내 책 Statistics : New Foundations, toolkit, machine learning recipes , pp 133-138을 참조하십시오.

Answer 3

실행 평균과 실행 최소 평균을 모두 명시 적으로 추적 할 수 있습니다.

허락하다 $f(k,m,r)$ 확률 밀도 $k$ 변수, 지금까지의 최소 평균은 $m$, 현재 실행 평균은 $r$ 와 $m<r$.

허락하다 $g(k,m)$ 확률 밀도 $k$ 변수, 지금까지의 최소 평균은 $m$, 이것은 또한 지금까지의 실행 평균입니다.

나는 그것을 위해 주장한다 $k\ge2:$ \begin{align} f(k,m,r) &= \frac{e^{-kr}(kr)^{k-1}}{r(k-2)!}1_{[m<r]}\\ g(k,m) &= \frac{e^{-km}(km)^{k-1}}{(k-1)!} \end{align}

이 공식이 있으면 우리는 단지 관심이 있다는 사실로부터 제한 분포를 추측 할 수 있습니다. $f$ 그리고 아닙니다 $g$ (많은 무승부 이후로 최소 평균은 과거에 거의 확실하게 발생했습니다.) $r=1$(많은 무승부 이후, 러닝 평균은 거의 확실하게 1입니다). 따라서 우리는 제한 분포가 다음의 정규화라고 추측 할 수 있습니다.$f(k,m,1)$, 우리는 다음과 같이 읽을 수 있습니다. $1_{[m<1]}$, 원하는 균일 분포입니다.

보다 공식적으로는 $$\int_0^\infty f(k,m,r)dr + g(k,m) \to 1_{[m<r]} \text{ as }k \to \infty$$수치 적으로 확인했습니다. 첫 번째 용어는$\Gamma[k-1,km]/(k-2)!$, 그래서 한계 증명은 아직 찾지 못했지만 아마 쉬울 것입니다.

주장으로 돌아가서, 공식 $f$ 과 $g$ 에 대한 유도로 증명 될 수 있습니다 $k'=k+1$: \begin{align} f(k',m,r)= &\int_{x=m}^{k'r/k} f(k,m,x)k'e^{-k'r+kx}dx \\ &+ g(k,m)k'e^{-k'r+km}\\ g(k',m)= &\int_{r=m}^{\infty}\int_{x=m}^{r} f(k,x,r)k'e^{-k'm+kr}dx\,dr \\ &+ \int_{x=m}^{\infty}g(k,x)k'e^{-k'm+kx}dx \end{align} 이 방정식의 오른쪽에있는 네 항은 다음과 같은 네 가지 가능성을 추적하는 데 필요한 것입니다. $m<r$ 또는 $m=r$ 과 $m_{old}<r_{old}$ 또는 $m_{old}=r_{old}$.

Answer 4

(참고 문헌을 찾고 있으므로 위의 의견을 답변으로 바꿉니다.)

고전적 변동 이론을 사용하는 증거는

평균의 예상 최고치?

(나는이 결과가 잘 알려져 있거나 이전 참고 문헌에 대해 잘 알려져 있지 않습니다.)

추가됨 :

연관된 푸 아송 과정을 고려하십시오. $N(t)$ 와 $N(0)=0$ 및 도착 간격 $X_i$. 그런 다음 쉽게 볼 수 있습니다.$a>0$ \begin{align*} \sup_{t\geq 0}( N(t)-at) \leq 0 \;\; \Longleftrightarrow \;\;\inf_{n\geq 1}\frac{S_n}{n}\geq \frac{1}{a}\end{align*}

여기에 표시되었습니다 https://www.ams.org/journals/tran/1957-085-01/S0002-9947-1957-0084900-X/S0002-9947-1957-0084900-X.pdf 그리고 여기 https://www.jstor.org/stable/2237099 그 \begin{align*}\mathbb{P}(\sup_{t\geq 0} (N(t)-at)\leq 0)=\Big\{\begin{array}{cc} 1-\frac{1}{a} \mbox { if } a\geq 1\\ 0 \mbox{ else }\end{array}\end{align*}

따라서이 공식에서 결과는 실제로 고전적입니다.