이중 공간 증명 $\ell^1$ 이다 $\ell^{\infty}$

Dec 23 2020

이중 공간 증명 $\ell^1$ 이다 $\ell^{\infty}$

내 시도 : 여기 에 답을 얻었 지만 답 을 이해할 수 없습니다.

우리는 규범이 $ x\in \ell^1$ ~에 의해 주어진다 $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$

규범 $ x\in \ell^{\infty}$ ~에 의해 주어진다 $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$

이제 여기 내 증명 시작 :

이후 $\ell^1$ 무한한 순서를 담고 있기 때문에 무한 차원입니다. $(0,0,\dots,1,0,\dots)$

그래서 근거가 있습니다 $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$$\ell^1$ 어디 $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$

이것은 모든 $x \in \ell^1$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$

이제 제한된 선형 함수를 사용하십시오. $f$$\ell^1$

$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ 정의 $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$

그 이후로는 더 이상 진행할 수 없습니다 ..

답변

1 YiorgosS.Smyrlis Dec 23 2020 at 20:18

분명히, 모든 요소 $v\in\ell^\infty$ 이중의 요소를 정의 $\ell^1$, 이후 $v=(v_j)$$x=(x_j)\in\ell^1$, 다음 $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ 허락하다 $\varphi\in(\ell^1)^*$ 및 설정 $v_j=\varphi(e_j)$$v=(v_j)$. 분명히$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ 따라서 $v\in\ell^\infty$$\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$. 그것을 보여주는 것은 남아 있습니다$\varphi(x)=v(x)$, 모든 $x\in\ell^1$$\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$.

분명히, $\varphi(x)=v(x)$, for $x=e_j$ 그리고 모두를 위해 $x$의 유한 선형 조합 인 $e_j$'에스. 또한 둘 다 제한된 선형 함수이며 밀도가 높은 하위 집합에 동의합니다.$\ell^1$, 따라서 모든 곳에서 동의합니다. $v\equiv \varphi$.

마지막 부분에서는 $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$. 이제 모든$\epsilon>0$, 단위 벡터가 있습니다. $w=(w_j)\in\ell^1$, 그런 $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ 또한 존재 $n\in\mathbb N$, 그런 $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$, 어디 $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ 그리고 명확하게 $v(w(n))=\varphi(w(n))$. 그래서$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ 그리고 이것은 모두에게 사실입니다 $\epsilon>0$, 즉 $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$.