이중 적분으로 이중 합계 근사
이 질문 과 관련 하여 다음 합계에서 경계를 지정하는 데 관심이 있습니다.$$ S:=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}}, $$ 나는 그것을 적분과 연관시킴으로써하고 싶습니다. $$ I:=\int_0^\infty \int_0^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}} dx\,dy. $$
이전 질문에 대한 답변은 $I = O\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right)$에 대한 직관은 아마도 함수가 최대 값을 기준으로 거의 가우시안처럼 작동한다는 것입니다. $(x_0,y_0) = \left(i \sqrt{\frac{m}{i+j}},j \sqrt{\frac{m}{i+j}} \right)$, 여기서 함수는 값을받습니다. $\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)$.
그러나 나는 그 차이를 보여줄 수 없었습니다. $|I-S|$이 경계보다 훨씬 작습니다. 예를 들어 고유 한 최대 값이있는 단순한 1 차원 적분의 경우 적절한 텔레 스코핑 합계를 고려하여 최대 값 측면에서이 차이를 제한하는 것이 그리 어렵지 않습니다. 그러나이 주장의 순진한 유사성은 2 차원에서 작동하지 않는 것 같고,이 주장을 적분의 각 '조각'에 적용하려고 시도하면 꽤 끔찍한 계산이 이루어졌습니다. 나는 또한 Euler-Maclaurin 공식 을 사용하는 것을 고려했지만 그것은 내 전문 분야에서 약간 벗어났습니다.
근사치에 상대적으로 표준적인 방법이 있어야한다고 생각합니다. $|I-S|$, 컴퓨팅에 더 능숙한 사람이 CAS를 통해 증거를 제공 할 수 있다고해도 놀라지 않을 것입니다. 전자가 더 유용해서 비슷한 질문에 접근 할 수있는 도구가 있습니다.
그래서 매우 명시 적으로 알고 싶습니다. $$ |I-S| = o\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right), $$내가 염두에 둔 응용 프로그램에는 big-O만으로도 충분하며 그 차이가 함수 최대 값의 배수로 제한되어 있어도 놀라지 않을 것입니다. 나는 무증상에 관심이 있습니다.$i$ 과 $j$ 무한한 경향이 있습니다. $m$ 고정 또는 함수일 수 있습니다. $i$ 과 $j$. 내가 염두에두고있는 응용 프로그램의 경우 그러한 결과를 얻는 것으로 충분할 것입니다.$i = (1+o(1))j$ 과 $m = o(i)$.
답변
실제 답변을 제공 할 수는 없지만 도움이 될만한 몇 가지 고려 사항과 힌트 만 제공합니다.
함수 $$ f(x,y) = \left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} $$ 1 사분면에 (절단 된) 종 모양이 있다는 것은 최대 주변에서 오목하고 더 멀리 볼록하다는 것을 의미합니다.
이로 인해 적분을 Riemann 합계에 연결하기가 매우 어렵습니다. $>, <$, 불평등의 징후가 두 영역에서 변하기 때문입니다.
또한 증가시 $i, \, j$, 최대 이동 위치 $\approx \sqrt{i}$, 그리고 대략적으로 퍼짐 벨 피크가 증가합니다 $\approx i^{m/2}$.
이후$\Delta x , \, \Delta y$ 합계의 고정 $1$, 나는 그 합이 적분으로 수렴 할 수 있을지 의문이다.
적분과 관련하여 다음 접근 방식을 시도합니다. $$ \eqalign{ & I = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {\left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} dxdy} } = \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ s = x + y \hfill \cr t = x - y \hfill \cr} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \matrix{ x = \left( {s + t} \right)/2 \hfill \cr y = \left( {s - t} \right)/2 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } = \cr & = \int_{s\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{t\, = \, - s}^{\,s} {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } \cr} $$ 그런 다음 또한 고려하십시오 $$ \eqalign{ & - \,\left( {{{s^{\,2} + t^{\,2} + 2st} \over {2\,i}}\, + {{s^{\,2} + t^{\,2} - 2st} \over {2\,j}}} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}} \left( {{t \over s}} \right) + 1} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2i\,j}}\left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}}\left( {{t \over s}} \right) + \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {\left( {{t \over s}} \right) - {{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) \cr} $$ 변수를 다시 변경할 수 있습니다. $$ \left\{ \matrix{ s = s \hfill \cr r = t/s \hfill \cr} \right.\quad J = \left| {\left( {\matrix{ 1 & 0 \cr { - t/s^{\,2} } & {1/s} \cr } } \right)} \right| = {1 \over s} $$ 그런 다음 오류 함수의 근사치 또는 직렬 확장을 진행합니다.