이중 적분기 방정식을 읽는 방법?

Question

내가 이해하는 바에 따르면 이중 적분기는 개체에 가해지는 가속력에 따라 어떤 개체가 어떤 속도에 따라 움직일 수있는 모델입니다.

누군가 나에게 그러한 모델을 대표 해달라고 요청한다면 $x$ 엔티티의 위치, $v$ 속도, $a$ 가속도를 다음과 같이 간단하게 기록합니다.

$$ \dot{x} = v $$ $$ \ddot{x} = a $$

그러나 이것들은 위키 백과 페이지에서 주어진 것과 같은 관계가 아닌 것 같습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Double_integrator). 표기법에 문제가있을 수 있습니다. 단일 차원에서 이중 적분기 시스템을 나타내는 다음 방정식 은 정확히 무엇을 의미합니까?

$$ \ddot{q} = u(t) $$ $$ y = q(t) $$

$u$ 제어 입력으로 설명되며 가속도라고 가정합니다. $q$출력, 엔티티의 위치는 무엇입니까? 그래서, 무엇입니까$y$? 다음과 같은 것 같습니다.$q$, 그래서 여기서 그 용도는 무엇입니까?

Answer 1

위키피디아 기사는 표기법과 형식이 일치하지 않습니다.

또한이 기사에는 표기법을 더욱 복잡하게 만드는 자유도 간의 제약 방정식이 포함되어 있습니다. 1 DOF 문제에 대해서는 그러한 고려 사항이 없습니다.

그래서 당신의 예를 들어, $n=1$ DOF 및 다음 수량 고려

• 일반화 된 좌표는 다음의 벡터입니다. $n$ 가치

  $$\boldsymbol{q} = \pmatrix{x} \tag{1}$$

• 미분 방정식은 다음의 시스템으로 자유도 측면에서 제공됩니다. $n$ 방정식

  $$ \ddot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{\rm f}(t, \boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}) \tag{2}$$

  $$ \ddot{x} = {\rm f}(t,x,\dot{x}) $$

• ODE로서 위의 내용은 2 차이며 해결을 위해 두 변수 (이중 적분기)의 통합으로 설정됩니다. 두 개의 1 차 ODE로 구성된 시스템으로서 위는 다음과 같이 표현됩니다.$2n$ 방정식.

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot{q}} } = \pmatrix{ \boldsymbol{\dot q} \\ \boldsymbol{\rm f}(t,\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}}) } \tag{3}$$ $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{x \\ v} = \pmatrix{v \\ {\rm f}(t,x,v)} $$

• 더 공식적으로 상태 벡터로 $\boldsymbol{x} = \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot q}}$위의 연립 방정식은 기사 가 보여 주었 어야 하는보다 표준적인 형태로 전환됩니다.

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\rm u}(t, \boldsymbol{x}) \tag{4}$$

  $$ \begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\rm f}(t,x,v) \end{aligned}$$

  _{참고 상태 벡터 실제 벡터 아닌 물리학의 관점에서가 아니라 수학적 구조가.}

• 시스템은 또한 다른 자유 도와 그 파생물을 연결하는 제약 조건을 설명 할 수 있습니다.

  $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\rm g}(t, \boldsymbol{x}) \tag{5} $$

  그러나 이것은 귀하의 경우에는 적용되지 않습니다.

• 위의 모든 것은 DAE 시스템 ( 미분 및 대수 방정식 ) 으로 선형 대수로 표현할 때 조금 더 공식화됩니다.

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \mathbf{A} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{b} \tag{6} $$ $$ \boldsymbol{0} = \mathbf{G} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{c} \tag{7} $$