이중 매스 스프링 시스템의 추가 에너지

Aug 17 2020

아래는 매끄러운 표면 (마찰 없음)에 배치 된 이중 매스 스프링 시스템입니다. 스프링 상수를 다음과 같이 가정하겠습니다. $k$ 이 경우.

이제 가치의 봄에 작은 확장을 만들면 $x_o$, 두 질량은 진폭을 사용하여 개별적으로 단순 조화 운동 (SHM)을 수행합니다. $A_1$ 과 $A_2$ 각각 그렇게 $A_1$ + $A_2$ = $x_o$. 이제 상기 시스템의 총 에너지는$\frac{1}{2}kx_o^2$ 개별 진동의 에너지는 $\frac{1}{2}kA_1^2$ 과 $\frac{1}{2}kA_2^2$. 그러나$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. 그렇다면이 여분의 에너지는 무엇을 위해 사용됩니까? 그것은 대중의 개별적인 진동의 에너지 아래 오지 않기 때문에 SHM에 사용되지는 않습니다. 그래서 나는 그것이 무엇을 위해 사용되고 있는지 말할 수 없습니다!

또 다른 질문이 있습니다. 각각의 최대 운동 에너지는 다음과 같이 관련됩니다.$\frac{1}{2}mv_1^2$ + $\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, 어디 $v_1$ 과 $v_2$개별 질량의 최대 속도입니다. 그러나 SHM을 수행하는 신체의 최대 운동 에너지는 최대 위치 에너지와 같아야합니다! 그래서$\frac{1}{2}kA_1^2$ 다음과 같아야합니다. $\frac{1}{2}mv_1^2$ 유사하게 $\frac{1}{2}kA_2^2$ 다음과 같아야합니다. $\frac{1}{2}Mv_2^2$. 그러나 이것은 우리의 방정식에 위배됩니다.$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! 그래서 나는 여기서 무슨 일이 일어나고 있는지에 대해 꽤 혼란 스럽습니다!

아무도 이것들을 나에게 설명 할 수 있습니까?

답변

2 gandalf61 Aug 17 2020 at 21:13

단일 SHM 시스템으로 두 질량을 함께 분석해야합니다. 그런 다음 두 개의 독립적 인 SHM 구성 요소로 분할 할 수 없습니다.

자연적인 길이의 스프링으로 시작하여 질량을 이동한다고 가정합니다. $m$ 멀리 왼쪽으로 $x_1$ 그리고 질량 $M$ 멀리 오른쪽으로 $x_2$. 스프링이 두 질량에 가하는 힘은 이제$k(x_1+x_2)$. 따라서 질량을 이동하면$m$ ...에서 $x_1=0$ ...에 $x_1=A_1$ 그리고 우리는 질량을 이동 $M$ ...에서 $x_2=0$ ...에 $x_2=A_2$ 그러면 봄에 저장된 총 에너지는

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

어디 $y=x_1+x_2$, 및

$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

그래서 "추가 에너지"가 없습니다.

우리가 질량을 풀 때 질량 운동 방정식 $m$ 이다

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

그리고 질량 $M$ 그것은

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

함께 추가하면

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

어디 $k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, 및 $y(0) = x_0$, $\frac{dy}{dt}(0) = 0$. 그래서

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

비슷하게

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

스프링이 원래 길이로 돌아 오면 $y=0$ 과 $\cos \sqrt{k'}t = 0$ 그래서 $\sin \sqrt{k'}t = 1$. 따라서 시스템의 운동 에너지는

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

즉, 예상대로 봄에 저장된 모든 위치 에너지가 운동 에너지로 변환되었습니다.

2 Farcher Aug 17 2020 at 21:33

허락하다 $x$ 질량의 평형 위치에서 최대 변위의 크기 $m$ 과 $X$ 질량의 평형 위치에서 최대 변위의 크기 $M$.

시스템의 운동량 보존에는 $m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.

이 시스템의 경우 고유 진동 주파수는 다음과 같습니다. $\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.

시스템의 최대 운동 에너지는 다음과 같습니다. $\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.

가치를 입력 $\omega^2$ 곱하면 운동 에너지가

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.