일반 submartingales에 대한 Doob의 불평등의 추론
나는 다음과 같은 결과를 증명하려고 노력했습니다.
허락하다 $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$submartingale 또는 supermartingale입니다. Doob의 Inequality와 Doob의 Decomposition을 사용하여$n \in \mathbb N$ 과 $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ 어디 $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
우리가 사용하는 Doob의 불평등 버전은 $p \geq 1$, $\lambda > 0$, 및 martingale 또는 긍정적 인 submartingale $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ 이 결과를 증명하는 것으로 충분합니다. $X$submartingale입니다. Doob의 분해 사용$X = M+A$, $M$ 마틴 게일과 $A$ 증가하는 예측 가능한 프로세스 $A_0 = 0$ (그래서 $A$긍정적 인 하위 마틴 게일), 실제로 더 강한 불평등을 보여줄 수 있습니다. 사실, 이후$A$ 긍정적이고 증가하고 있습니다. $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. 이후$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ 그 다음부터 $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ 이러한 부등식을 사용하면 다음과 같습니다. \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} 내 질문은 두 가지입니다.
- 이 주장에 내 가정의 결함이나 내가 알지 못하는 부당한 가정과 같은 오류가 있습니까? 그렇지 않다면
- 내가 사용하는 책 (Klenke의 확률 이론 : 종합 과정 )이 계수를 사용 하는 이유가 있습니까?$12$ 과 $9$ 보다는 $9/2$ 과 $6$? 언급 된 결과가 마틴 게일과 Doob 분해의 더 기본적인 속성을 사용하여보다 고전적이거나 더 쉽게 보여줄 수 있습니까?
이 문제는 여기서도 논의 되었지만이 스레드는 계수의 임의성에 대해 실제로 다루지 않습니다.$12$ 과 $9$. 누구든지 통찰력을 제공 할 수 있습니까?
답변
이것은 당신의 증명이나 그것이 사용하는 기술을 건드리지 않기 때문에 대답의 일부일뿐입니다.하지만 코멘트를하기에는 너무 깁니다. 내 직감은 계수가 최적이 아니기 때문에 임의적이라는 것입니다. 다음은 Jean-François Le Gall (p.263)의 Brownian Motion, Martingales 및 Stochastic Calculus 책에서 가져온 한 가지 가능한 개선 사항입니다.
최대 불평등 If$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 모두를위한 슈퍼 마팅 게일입니다 $\lambda>0$ 과 $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
증거 (책에 없음). 고치다$\lambda>0$ 과 $k\in\mathbb{N}$. 허락하다$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. 정지 시간 정의$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$, 그리고 $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. 이후$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 슈퍼 마팅 게일입니다 $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ 이제 $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ 과 $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. 우리는$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ 두 부등식을 재정렬하고 합하면 $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ 그건 그렇고, 우리는 또한 더 나은 상한이 $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.