일관성없는 시스템이 수학적으로 흥미 롭거나 유용 할 수 있습니까?
이 질문에 대한 상위 답변 에 따르면 :
수학을 할 때 우리는 종종 우리가 공식적으로 표현하고 싶은 대상에 대한 아이디어를 가지고 있는데, 이것은 개념 입니다. 그런 다음이 개념을 설명하기 위해 공리를 작성하고 이러한 공리가 자기 모순인지 확인하려고합니다. 그렇지 않은 경우 (또는 증명할 수없는 경우) 우리는 그들과 함께 작업을 시작하고 정의가 됩니다. 수학자들은 개념에 따라 안내되지만 정의에 따라 작업합니다. 개념과 정의가 일치하는 경우는 드뭅니다. 우리의 [수학자] 직관이 말한 것과 정확히 일치하는 수학적 대상이 있습니다.
우리의 수학적 직관을 형식화하는 것은 까다로운 일인 것 같습니다. 특히 우리의 직관이 종종 그 자체로 모순되어 온갖 종류의 수수께끼의 사실적 역설로 이어지기 때문입니다. 또한, 괴델은 일관성 있고 완전 모두있는 방법으로 수행 될 수 없음을 보여주고있다, 그래서 우리는 때 할 비 모순의 공식화를 찾을 수 있습니다, 우리는 완전성을 희생해야합니다.
하지만 대신 일관성을 포기하면 어떨까요? 일관된 시스템보다는 일관되지 않은 시스템으로 인해 (종종 일관되지 않은) 직관을보다 현실적으로 공식화 할 수 있습니다.
불행히도 폭발 의 원리는 모든 진술이 사실과 거짓이 될 것이기 때문에 그러한 시스템이 기본적으로 무의미하다는 것을 수반하는 것 같습니다. 그러나이 문제를 해결하는 방법이있을 수 있습니다. 예를 들어, 폭발의 원리를 방지하는 방식으로 논리적 추론의 규칙을 제한 할 수 있습니다. 또는 모든 증명을 특정 길이 이하로 제한 할 수 있습니다 (한 사람이 동시에 머릿속에 버틸 수있는 제한된 수의 직관적 인 단계에 해당).
이전에 시도한 적이 있습니까? 인간의 수학적 직관의 모델로 깨달음 / 유용 할 수 있습니까?
참고 : 수학적 관점보다는 철학적 관점에서 많은 종교 / 사고 체계가 인간의 직관 내에서 내재 된 모순을 수용하기 위해 일관성을 희생하는 것을 기쁘게 생각합니다. 선불교는 아마도 가장 잘 알려진 예이며 도교는 덜 극단적 인 경우에도 비슷한 일을합니다. 나는 또한 GK Chesterton의 책 “정통” (그는 기독교인) 을 읽고 있었는데 , 그는 논리와 이성에 대한 완전한 고수가 광기와 터무니없는 결과를 낳고 모순의 풍부함을 포착하지 못한다고 주장합니다. 생각과 현실.
답변
예, 그러한 시스템은 실제로 조사되었습니다. 핵심 용어에는 "파라 일관성 논리"및 "관련성 논리"가 포함됩니다. Re : 출처, Chris Mortensen은 주제에 대한 요약 기사 와 책 을 썼지 만 후자는 몇 가지 문제가 있습니다 ( 여기 참조 ).
여기에서 또 다른 중요한 용어는 "투석 신론"입니다. 아주 거칠게, paraconsistent 등의 논리는 paradox- 있습니다 허용 이러한 논리의 이론, 단순한 불일치는 사소한 일을 의미하지 않는다는 것을 의미한다. 변증 신론은 진정한 모순이 있다는 철학적 입장입니다. Graham Priest는이 주제에 대해 많은 글을 썼습니다 (예 : 여기 참조 ).
즉, 나는 첫 번째 불완전 성 정리를 이런 식으로 우회하려는 그럴듯한 시도를 실제로 알지 못합니다. 계산 가능하게 공리화할 수있는 초 일관 논리의 이론에 대한 자연적인 후보는 없습니다. $\mathsf{Q}$하위 이론 (말)으로서 완전하고 그럴듯하게 사소하지 않습니다. 우리는 약한 의미에서 두 번째 불완전 성 정리를 다룰 수 있습니다. 그러나 Mortensen의 책은 고전적인 1 차를 포함하는 특정 관련성 산술을 논의합니다.$\mathsf{PA}$ 그러나 그 사소함은 $\mathsf{PA}$-증명 가능. (사소하지 않음이이 맥락에서 일관성을 의미하지 않기 때문에, 이것은 실제로 두 번째 불완전 성 정리를 위반하지 않습니다.) 또 다른 주목할만한 적용은 순진한 집합 이론을 이해하는 초 일관 논리의 능력입니다. 예를 들어 여기를 참조 하십시오 .