자유 에너지 최소화
$\DeclareMathOperator{\tr}{tr}$ 허락하다 $H$자기 인접 행렬이고 자유 에너지를 다음 과 같이 정의합니다.$$ F(\Gamma)=\tr(H\Gamma+\Gamma \log \Gamma +(1-\Gamma) \log(1-\Gamma)) $$ 어디 $\Gamma$ 만족하다 $0\le \Gamma \le 1$. 나는 물리학 논문에서$F(\Gamma)$ 우리가 취하면 최소화됩니다 $$ \Gamma =\frac{1}{e^H +1} $$ 그러나 나는 엄격한 증거를 생각할 수 없습니다.
편집 . "일반적인"비 엄격한 증명 방법은 변형 방법을 사용하는 것입니다.\begin{align} \delta F &=\tr\left(H\delta\Gamma+\log\left(\frac{\Gamma}{1-\Gamma}\right)\delta\Gamma \right)\\ 0&=H+\log\left(\frac{\Gamma}{1-\Gamma}\right)\\ \Gamma &= \frac{1}{e^H+1} \end{align} 이 주장을 어떻게 엄격하게 만들까요?
편집 2 . 방금 깨달았습니다$F(\Gamma)$볼록하므로 위의 계산은 거의 엄격 하다고 생각합니다.$\delta\Gamma$ 출퇴근 불가 $\Gamma$, @Sangchul Lee가 지적한대로.
편집 3 . 증거에 대해 @Sangchul Lee에게 감사드립니다. 좀 더 간단 할 수도있는 또 다른 증거를 찾았다 고 생각합니다.
허락하다 $\Gamma_0=1/(e^H+1)$ 그리고하자 $0\le \Gamma_1 \le 1$. 허락하다$\Gamma(t)=(1-t)\Gamma_0 +t\Gamma_1 =\Gamma_0 +t\Delta$ 어디 $\Delta = \Gamma_1-\Gamma_0$. 허락하다$f(x)=x \log x +(1-x) \log (1-x)$. 그 후,$$ F(\Gamma)-F(\Gamma_0) = \tr(tH\Delta)+\tr (f(\Gamma)-f(\Gamma_0)) $$ 이후 $f$볼록한 경우 Klein의 부등식을 적용 하고$$ F(\Gamma)-F(\Gamma_0) \ge \tr(t\Delta (H+\log\Gamma_0 -\log (1-\Gamma_0))=0 $$ 또한 이후 $f$ 엄격하게 볼록합니다. $\Gamma_0$ 고유 한 글로벌 분입니다.
그건 그렇고 ,이 질문이 종결 된 이유를 잘 모르겠습니다. 그렇지 않다고 생각되면 재 개설에 투표하십시오.
편집 4 . Klein의 부등식에 대한 증거를 더 자세히 살펴본 후, 추적 함수의 파생물을 취하는 미묘한 "문제"가 있습니다 (위키피디아 기사에서 완전히 설명되지 않음). @Sangchul Lee는이 특별한 경우를 명시 적으로 다루고 있지만 더 일반적으로 할 수 있어야한다고 생각합니다. 따라서 여기 에 다른 질문을 게시했습니다 .
답변
이 답변에서 우리는
$$ D^+_{B}F(A) := \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{F(A+\epsilon B) - F(A)}{\epsilon} $$
한계가있을 때마다. 그러면 다음 기본형이 유용합니다.
정리. 우리는$$ D^+_{B}\exp(A) = \int_{0}^{1} e^{sA}Be^{(1-s)A} \, \mathrm{d}s. $$
증명. 우리는
$$ D^+_{B}\exp(A) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} D^+_{B}(A^n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n-1} A^k B A^{n-1-k} = \sum_{k,l\geq 0} \frac{A^k B A^l}{(k+l+1)!}. $$
그런 다음 클레임은 베타 적분에서 따릅니다. $\int_{0}^{1} u^k(1-u)^l \, \mathrm{d}s = \frac{k!l!}{(k+l+1)!} $. $\square$
이제 $\Gamma_0$ 과 $\Gamma_1$ 자기 인접 행렬이어야합니다. $0 \leq \Gamma_k \leq 1$ ...에 대한 $k = 0, 1$. 보간하다$\Gamma_0$ 과 $\Gamma_1$ 함으로써
$$ \Gamma_t = (1-t)\Gamma_0 + t\Gamma_1, \quad 0 \leq t \leq 1. $$
우리는 또한 씁니다 $\Delta = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Gamma_t = \Gamma_1 - \Gamma_0$자주 나타날 것이기 때문입니다. 그런 다음 Frullani의 적분과 기능적 미적분에 의해
\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \log \Gamma_{t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x} - e^{-x\Gamma_t}}{x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} (D^+_{\Delta}\exp)(-x\Gamma_t) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} e^{-sx\Gamma_t}\Delta e^{-(1-s)x\Gamma_t} \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x. \end{align*}
이로부터 우리는
\begin{align*} \operatorname{Tr}\left( \Gamma_t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \log\Gamma_t \right) &= \operatorname{Tr}\left( \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \Gamma_t e^{-sx\Gamma_t}\Delta e^{-(1-s)x\Gamma_t} \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x \right) \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \operatorname{Tr}\left( \Gamma_t e^{-sx\Gamma_t}\Delta e^{-(1-s)x\Gamma_t} \right) \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \operatorname{Tr}\left( \Gamma_t e^{-x\Gamma_t}\Delta \right) \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x \\ &= \operatorname{Tr}(\Delta), \end{align*}
유사하게
$$ \operatorname{Tr}\left( (1-\Gamma_t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \log(1-\Gamma_t) \right) = -\operatorname{Tr}(\Delta). $$
그래서 우리는
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} F(\Gamma_t) = \operatorname{Tr}\left( H\Delta + \Delta\log(\Gamma_t) - \Delta\log(1-\Gamma_t) \right) \tag{1} $$
에 대해 양쪽을 차별화 $t$ 다시,
\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} F(\Gamma_t) &= \operatorname{Tr}\left(\Delta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log(\Gamma_t) - \Delta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log(1-\Gamma_t) \right) \\ &= \operatorname{Tr}\left( \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \Delta e^{-sx\Gamma_t}\Delta e^{-(1-s)x\Gamma_t} \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x \right) \\ &\qquad + \operatorname{Tr}\left( \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \Delta e^{-sx(1-\Gamma_t)}\Delta e^{-(1-s)x(1-\Gamma_t)} \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x \right) \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \left\| e^{-\frac{1}{2}sx\Gamma_t}\Delta e^{-\frac{1}{2}(1-s)x\Gamma_t} \right\|^2 \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x \\ &\qquad + \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} \left\| e^{-\frac{1}{2}sx(1-\Gamma_t)}\Delta e^{-\frac{1}{2}(1-s)x(1-\Gamma_t)} \right\|^2 \, \mathrm{d}s \mathrm{d}x \tag{2} \end{align*}
어디 $\| X \|^2 = \operatorname{Tr}(X^* X)$ 항상 음이 아닌 실수입니다.
이제 우리는 주장을 증명할 준비가되었습니다.
에서 $\text{(2)}$, 우리는 $\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} F(\Gamma_t) \geq 0$, 이는 차례로 다음을 의미합니다. $F$ 볼록합니다.
$\text{(1)}$ 그것을 보여주는 데 사용할 수 있습니다 $\Gamma_{\text{m}} = \frac{1}{e^H + 1}$ 지역 극한 $F$. 그런 다음 볼록성에 의해 이것은 로컬 최소값입니다.$F$.
따라서 $\Gamma_{\text{m}}$ 최소화 $F$.