제한 $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Question

질문 : 제한$\lim\limits_{n \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

가장 먼저 눈에 띄는 것은 다음과 같습니다. $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ 한계는 다음과 같은 형태로 보입니다. $(1 + \frac{1}{x})^x$. 안타깝게도 이러한 아이디어를 적용하여 한계를 해결할 수없는 것 같습니다. 그것이 옳은지 잘 모르겠습니다.

$$\ln(y) = \lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}$$

l' hopital의 규칙 적용 ...?

누군가가이 접근 방식이 옳다는 것을 확인할 수 있습니까, 아니면 잘못된 경우 올바른 접근 방식을 제공 할 수 있습니까?

Answer 1

이후 $\frac{\pi}{2} - \arctan(x) =\arctan \left(\frac1x\right)\to 0$ 우리는 그것을 사용할 수 있습니다

$$\left(1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\right)^x=\left[\left(1+ \arctan\left(\frac1x\right)\right)^{\frac{1}{\arctan\left(\frac1x\right)}}\right]^{x\arctan\left(\frac1x\right)}$$

표준 한계를 참조하십시오.

또는 대안으로 아이디어를 따르십시오.

$$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln\left(1+\arctan \left(\frac1x\right)\right)}{\arctan \left(\frac1x\right)}\,\frac{\arctan \left(\frac1x\right)}{\frac1x}$$

표준 한계로 다시 결론을 내립니다.

Answer 2

$$A=\left(1+ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\right)^x=\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$$

$$\log(A)=x \log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$

테일러 $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{12 x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log(A)=1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{12 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e \left(1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{8 x^2}+\frac{1}{16 x^3} \right)+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$

편집하다

중히 여기다 $x=\frac {11}{24}\pi$ (이것은 아주 멀리 떨어져 있습니다 $\infty$) 아크 탄젠트는 $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$.

정확한 값은 $1.97993$ 이 잘린 표현은 $1.99516$.

실제로 상대 오차는 $0.01$% 만약 $x\geq3$