정규 조건부 분포를 사용하여 조건부 Hölder 부등식 증명
정규 조건부 분포를 사용하여 조건부 Hölder 부등식을 증명하려고합니다. 내가 증명하려는 불평등은 다음과 같습니다.
에 대한 $p,q \in (1,\infty)$ 와 $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, 그리고 $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ 과 $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, 그리고 $\mathcal F \subset \mathcal A$ 하위$\sigma$-대수, 거의 확실하게 우리는 $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$
이 사실에 대한 많은 증거를 찾았지만, 특히 정규 조건부 분포의 정리를 사용하여이를 증명하려고합니다.
허락하다 $X$ 무작위 변수가되다 $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ Borel 공간의 값으로 $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ 하위입니다$\sigma$-대수 및 $\kappa_{X,\mathcal F}$ 규칙적인 조건부 분포 $X$ 주어진 $\mathcal F$. 또한$f : E \to \mathbb R$ 측정 가능하고 $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. 그때,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ omega \ in \ Omega$}. $$
Young의 불평등과 단조롭고 조건부 기대의 선형성을 적용하면 $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$하지만 여기에서 원하는 불평등에 도달하는 데 문제가 있습니다. 또는 표준 Hölder의 부등식은 우리에게$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, 따라서 위의 결과는 $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ 그러나이 두 가지 접근 방식 모두 순환 논쟁으로 이어 지거나 공식적으로 존재하지 않는다고 생각하는 조치 (예 : $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ 고정 $\omega\in\Omega$). 볼만한 제안이나 다른 장소가 있습니까?
답변
허락하다 $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ 예상치 $\pi_1(x,y) = x$ 과 $\pi_2(x,y) = y$. 보여준 후$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ ae에 대해 유한 한 정규 조건부 분포에 대한 인용 결과 $\omega\in\Omega$. 그래서$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$및 유사하게 $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, ae $\omega\in\Omega$. 따라서 \ begin {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {정규 조건부 분포에서 인용 된 결과로;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {by the } \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right);에 적용된 표준 Hölder의 부등식); \\ & = \ mathbb E \ left [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {인용 된 결과 및 이미지 측정 속성 사용$\kappa_{X,\mathcal F}$ 과 $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {align *}
시작하는 건 어때 $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$
만약 $Z$ 이다 $\mathcal F$ 측정 가능 $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$
0 및 무한 문제를 방지하려면 먼저 $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$, 유사하게 $Y$, 다음 $\epsilon \to 0+$, 및 $N \to \infty$.
물론, 처음에 Young의 불평등을 할 때 정규 조건부 분포의 도입은 아무 목적도없는 추가 단계입니다.
다시 말씀 드리지만, 저는 귀하의 질문에 대답하지 않습니다. 그러나 이것은 댓글에 비해 너무 큽니다.
표준 홀더의 불평등을 증명할 때 실제로 영의 불평등을 다음과 같은 형식으로 사용합니다. $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ 당신이 얻는 $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ 그런 다음 다음을 사용합니다. $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (이것은 단지 영의 불평등에 평등의 조건을 넣는 것입니다.) 홀더 불평등의 조건부 형태를 증명할 때, infimum은 인수 될 것입니다. $\lambda$ 긍정적 인 $\mathcal F$-측정 가능한 기능.
그러나 이것이 말하는 것은 조건부 정규 분포를 사용하려면 위에서 작성한 Young의 불평등 형식을 사용해야한다는 것입니다.