정수의 모든 튜플 찾기 $(a, b, c)$ 와 $a>0>b>c$, 어디 $a+b+c=0$ 과 $N=2017-a^3b-b^3c-c^3a$ 정수의 완전 제곱

Question

정수의 모든 튜플 찾기 $(a, b, c)$ 와 $a>0>b>c$, 어디 $a+b+c=0$ 과 $N=2017-a^3b-b^3c-c^3a$ 정수의 완전 제곱

나는 그 이후로 말했다 $a+b+c=0$ 그때 $c=-a-b$ 따라서 인수 분해 $K=a^3b+b^3c+c^3a$ 우리는 그것을 가지고 $K=-(a^2+ab+b^2)^2$

이것은 내가 갇힌 곳입니다. 솔루션을 끝내는 방법을 알 수 없습니다. 전체 솔루션과 각 단계에 대해 직관적으로 어떻게 생각했는지 설명해 주시겠습니까?

Answer 1

당신은 $$ 2017 + \left( a^2 + ab + b^2 \right)^2 = w^2 $$ 또는 $$ w^2 - \left( a^2 + ab + b^2 \right)^2 = 2017 $$왼쪽 사각형의 차이, 요인, 한편 2017 년은 소수입니다. 그러므로$$ w + a^2 + ab + b^2 = 2017 , $$ $$ w - a^2 - ab - b^2 = 1 , $$ 또는 $$ w = 1009$$ $$ a^2 + ab + b^2 = 1008 = 2^4 3^2 \cdot 7 = 7 \cdot 144 $$ 확인할 수 있습니다. $a,b$ 둘 다 다음으로 나눌 수 있습니다. $12.$ 허락하다 $\alpha = \frac{a}{12}$ 과 $\beta = \frac{b}{12},$ 그때 $$ \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = 7$$ 몇 가지 정수 솔루션이 있습니다.