저역 통과 대 대역 통과 변환의 유도
기본적인 질문이 있습니다.
"잘 알려진"저역 통과에서 대역 통과로의 변환은 다음과 같습니다. $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ 대역 통과 전달 함수를 제공합니다. $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$
제 직감은 대역 통과는 저역 통과와 고역 통과의 산물이어야한다는 것입니다. 그러나이 제품은 다른 전달 함수를 제공합니다.$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ 이는 대역 통과 변환이 저역 통과 및 고역 통과의 캐스케이드를 제공하지 않음을 나타냅니다.
제 질문은 저역 통과 필터를 결합하거나 극 배치에 의해 대역 통과 변환이 어떻게 설계 되었습니까?
관련 질문이지만 다른 유도 기술을 사용하고 저역 통과 / 고역 통과 유도에 대한 참조가 만들어졌지만 표시되지 않았습니다. 저역 통과 대 대역 통과 변환은 어떻게 유도됩니까?
답변
로우 패스의 컷오프 주파수가 하이 패스의 컷오프 주파수보다 높으면 로우 패스와 하이 패스 필터를 곱하면 대역 통과 필터가 생성됩니다. 이 접근 방식의 문제점은 선택한 기준 (Butterworth, Chebyshev, Cauer)에 따라 최적의 크기 응답을 갖는 저역 통과 및 고역 통과 필터가 최적의 대역 통과 필터를 생성하지 못한다는 것입니다.
반면에 단일 최적 필터를 매핑하면 또 다른 최적 필터가 생성됩니다. 사용$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$, 어디 $\omega_l$ 과 $\omega_u$ 각각 아래쪽 및 위쪽 밴드 가장자리이며 $\omega_0$ 대역 통과 필터의 중심 주파수이고, 단순성을 위해 상수를 생략하면 변환은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$
[참고 $\omega_l$ 과 $\omega_u$ 다음과 같이 표시됩니다. $\omega_1$ 과 $\omega_2$ OP에서는 사용되지만 아래 그림에서는 다르게 사용됩니다.]
매핑 $(1)$ 지도 DC ($\omega=0$) 원하는 중심 주파수로 $\omega_0$. 더욱이,$s=\pm\infty$ 매핑됩니다 $s=0$ 과 $s=\infty$. 따라서 저역 통과 필터의 전체 주파수 축은 대역 통과 필터의 양의 주파수 축에 매핑됩니다. (대역 통과 필터의 음의 절반 축도 마찬가지입니다) :

( 출처 : Parks 및 Burrus의 디지털 필터 설계 )