제품 토폴로지가 $\Bbb C^n$ 평범한 것과 같다
Jan 08 2021
따라서 기능이 $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ 조건에 의해 정의
- $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$
어떠한 것도 $x,y\in\Bbb C^n$내부 제품입니다. 그래서 제품 토폴로지가$\Bbb C^n$ 내적에 의해 유도 $\tau_1$ 토폴로지와 동일 $\tau _n$위에서 정의한대로. 나는이 결과가 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 함수가 연속적이라는 것을 보여주고 유한 차원 위상 벡터 공간의 모든 위상이 동등하다는 것을 보여주기 위해 필요하다고 지적합니다. 대답. 누군가 나를 도울 수 있습니까?
답변
1 mathcounterexamples.net Jan 08 2021 at 04:16
제품 토폴로지는 표준에 의해 생성됩니다.
$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ 어디 $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. 표시
$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ 우리는
$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.