증명 $(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})…(1+\frac{1}{n^3})<3$ [복제]

Question

귀납법을 사용하려고했지만 P (n)이 참이라고 가정 한 후에는 P (n + 1)도 참임을 증명할 수 없습니다. 나는 또한 중간 불평등을 찾으려고 노력했지만 어떤 불평등에서 시작해야할지 알 수 없습니다.

유용 해 보이는 것은 P (n)을 취하고 $(1+\frac{1}{(n+1)^3})$, 그러므로 나는 이것에 왔습니다

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})<3 | \times(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

그러나 누구나 상상할 수 있듯이, 나는 그것을 증명하려고 노력했기 때문에 모순에 이르렀습니다. $3(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3$ 그것은 거짓입니다.

도움이 될 것입니다.

Answer 1

사실 사용 $1+x\le e^x$ 모든 진짜 $x,$ 우리는 $$\left(1+ \frac{1}{1^3}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\le \dfrac{9}{4}\exp\left(\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k^3}\right).$$이제 사실 을 사용 하십시오$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^3}\lt\dfrac{\pi^2}{7}.$$