증명 $2^{n}+1$ 모두에 대한 정수의 큐브가 아닙니다. $n\in\mathbb{N}$ [복제]

Question

증명 $2^n+1$ 어떤 큐브도 아닙니다 $n\in\mathbb{N}$.

나는이 진술을 증명할 수 있었지만 나와 다른 접근법이 있는지 알고 싶습니다.

존재한다면 $k\in\mathbb{N}$ 그런 $2^n+1=k^3$ 그때 $k=2l+1$ 일부 $l\in\mathbb{N}$. 그때$(2l+1)^3=2^n+1 \iff 4l^3+6l^2+3l=2^{n-1}$. 정수 솔루션을 찾고 있으므로 Rational Root Theorem에서$l$ 형식이어야합니다. $2^j$ ...에 대한 $j=1,...,n-1$. 하지만

$$4(2^j)^3+6(2^j)^2+3\times2^j=2^{n-1} \iff 2^{2j+2}+3(2^{j+1}+1)=2^{n-1-j}$$

LHS는 이상합니다. $j=n-1$. 불합리한.

미리 감사드립니다.

Answer 1

여기에 다른 접근 방식이 있습니다.

모듈로 $7$, 큐브가 너무 많지 않으므로 이러한 문제를 조사하는 데 좋은 설정이 될 수 있습니다.

$2^n+1\equiv 2, 3, $ 또는 $5\pmod7$,하지만 $m^3\equiv0, 1, $ 또는 $6\pmod 7$.

Answer 2

다음은 합리적인 루트 테스트를 피하는 패리티 기반 솔루션입니다.

만약 $2^n+1=m^3$, 다음 $2^n=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$, 그래서 $m-1=2^k$ 일부 $k\le n$, 및

$$2^n+1=\left(2^k+1\right)^3=2^{3k}+3\cdot2^{2k}+3\cdot2^k+1\,.$$

그때 $2^n=2^k\left(2^{2k}+3\cdot2^k+3\right)$, 그래서 $2^{n-k}=2^{2k}+3\cdot2^k+3$ 이상하고 크다 $1$, 불가능합니다.

추가됨 : 아래 주석에서 알 수 있듯이 첫 번째 줄 이후에이 주장을 계속하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 나는 내가 생각하는대로 코를 따라가는 접근 방식, 즉 가장 분명하고 직접적인 접근 방식을 취했다. (그리고 가장 간결하게 말하면 rtybase 의 코를 아주 좋아합니다 .) 다시 말하지만, 사람들의 코가 항상 같은 방향을 가리키는 것은 아닙니다. :-)

Answer 3

이를 위해 필요한 것보다 더 강력한 인수를 호출합니다.

어떤 해결책도있을 수 없다 $2^n+1=m^3$ (즉, $m^3-2^n=1$) Mihăilescu의 정리에 의해 ,

이것은 $2^3$ 과 $3^2$ 자연수의 유일한 두 거듭 제곱입니다

값이 연속적입니다.

Answer 4

가정 $2^n + 1 = k^3$. 그때$2^n = k^3 - 1 = (k^2 + k + 1)(k - 1)$. 따라서 두 요소 모두 ($k = 2$작동하지 않습니다. 첫 번째 요소는 적어도$3^2 + 3 + 1 = 13$, 1) 일 수 없습니다. 그러나 첫 번째 요소는 항상 이상하고 모순입니다.

Answer 5

허락하다 $$2^n=m^3-1\\\implies 2^n=(m-1)(m^2+m+1)\\\implies(m-1)=2^a\text{ and }(m^2+m+1)=2^b\\\implies3m=(m^2+m+1)-(m-1)^2=2^b-2^{2a}$$ 이제부터 $m$ 이상합니다. $a=0$ 또는 $b=0$. 그러나$(m-1)<(m^2+m+1)$ 암시 $a=0$. 이것은 의미$m=2$ 이후 모순 $m$ 이상해야합니다.

Answer 6

큐브를 다음과 같이 설정하겠습니다. $8m^3$ 과 $8m^3+12m^2+6m+1$. 같이$8m^3$ 짝수이며 작동하지 않습니다. $n=0$, 그건 불가능합니다. 두 번째 경우에는$1$ 당신은 그것을 고려할 수 있습니다 $2m(4m^2+6m+3)$. 자연스럽지 않기 때문에$4m^2+6m+3=1$ 그것은 불가능합니다 $2^n$ 자연을 위해 $n$.