증명 $b^k = a$ 과 $\text{ord}(a) = n$ 그때 $\text{ord}(b) = kn$.

Question

허락하다 $(G,e)$ 그룹이되고 $a \in G$ 질서가 한정되어있다

$\quad \text{ord}(a) = n$

그리고하자 $\langle a \rangle$ 에 의해 생성 된 순환 그룹을 나타냅니다. $a$.

가정하다 $b \in G$ 과 $k \ge 2$

$\quad b,\dots, b^{k-1} \notin \langle a \rangle$ 과 $b^k = a$

그런 다음 순서 $b$ 이다 $kn$.

증명

의 순서 $b$ 의 배수 여야합니다. $n$ 이후 $\langle a \rangle \subset \langle b \rangle$.

의 순서 $b$ 나눠야한다 $kn$ 이후 $b^{kn} = e$.

남은 것은 식별하는 것입니다. $kn$ 고유 한 요소 $\langle b \rangle$.

매핑 고려

$\quad (u,v) \mapsto a^u b^v \quad \text{where } 0 \le u \lt n \land 0 \le v \lt k$

이 매핑이 주입 적이라는 것을 보여줄 수 있다면 작업이 완료 될 것입니다. 이것은$b^v$ 의 모든 요소에 대해 사소하지 않은 역이 될 수 없습니다. $\langle a \rangle$.

가정 $a^u b^v = a^s b^t$ 과 $u = s$. 그때$v$ 다음과 같아야합니다. $t$.

따라서 일반성을 잃지 않고 $u \gt s$. 그러면 우리는 쓸 수 있습니다

$\quad a^w b^v = b^t$

와 $0 \lt w \lt n$.

만약 $v = t$ 우리는 이후 모순이 있습니다 $a$ 주문이있다 $n$.
만약$v \gt t$사소하지 않은 역을 만들 수 없기 때문에 모순이 있습니다.
만약$v \lt t$ 우리는 이후 모순이 있습니다 $b^{t-u} \notin \langle a \rangle$.

이것으로 증명이 완료되었습니다.

유효한 증거입니까?

나에게는 괜찮아 보이지만이 질문을 게시 한 이유 는 수학 사실 인터넷에서 이것을 찾을 수 없기 때문 입니다. 이 사이트 또는 다른 곳에서 중복 질문으로이 (사실?)을 찾을 수 없습니다.

따라서 이것을 사용하는 문헌에 대한 링크는 흥미로울 것입니다.

Answer 1

귀하의 증거가 정확합니다. 훨씬 더 짧은 증명이 이어집니다.

에 대한 $1\le x<kn$, $b^x\ne e$ 이후 $$b^x=(b^k)^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}=a^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}$$ 어느 한 쪽 $x\bmod k>0$ 과 $b^x\not\in\langle a\rangle$ 첫 번째 요소는 $\langle a\rangle$ 두 번째는 그렇지 않거나 $x\bmod k=0$ 그러나 $\lfloor x/k\rfloor\in[1,n)$ 과 $b^x=a^{\lfloor x/k\rfloor}\ne e$.

그러나 그것을 보여주는 것은 쉽습니다. $b^{kn}=e$. 따라서 순서$b$ 이다 $kn$.