증명 이해 : 모든 볼록 함수는 연속적입니다.

Aug 19 2020

다음 증거를 이해하려고합니다.

정리 2.10. 만약$f$ 열린 간격에 정의 된 볼록 함수입니다. $(a, b)$ 그때 $f$ 계속된다 $(a, b)$

증명. 가정$f$ 볼록하다 $(a, b),$ 그리고하자 $[c, d] \subseteq(a, b) .$ 고르다 $c_{1}$$d_{1}$ 그런 $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ 만약 $x, y \in[c, d]$$x<y,$ Lemma 2.9에서 가져 왔습니다 (그림 4 참조).$)$$$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$$$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ 세트를 보여주는 $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ 에 묶여있다 $M>0 .$ 다음과 같습니다 $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ 따라서 $f$ 균일하게 연속 $[c, d] .$ 균일 한 연속성이 연속성을 의미한다는 것을 상기하면서 $f$ 계속된다 $[c, d] .$ 간격 이후 $[c, d]$ 임의적이었습니다. $f$ 계속된다 $(a, b)$. ${}^2$ $\square$

(이 스크린 샷에서 복사)

내 질문 :

  1. 표현식의 모듈러스 값은 어디에 있습니까? $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ 에서 왔습니까?
  2. 이건 어떤가요 $M=0$? 사소하지만 그 사건도 다루어야한다고 생각합니다. 아이디어는$M=0$, 다음 $f$일정하므로 연속적입니다. 그러나 우리는 그것을 어떻게 엄격하게 보여줄 수 있습니까?

답변

2 JoséCarlosSantos Aug 18 2020 at 23:29

저자가 숫자를 찾은 이후 $\alpha$$\beta$ 당신이 항상 가지고 있도록 $c\leqslant x<y\leqslant d$,$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$그런 다음 세트$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$경계가 있으므로 세트$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$너무 제한되어 있습니다. 그래서, 당신은 약간을 취할 수 있습니다$M>0$ 그런$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$그리고, 당신이 가져간 이후 $M>0$, 가능성을 귀찮게 할 필요가 없습니다. $M=0$.

SatyaVivekBoddu Aug 18 2020 at 23:30
  1. 이 증명에서 우리는 제한된 집합에서 균일 한 연속성에 해당하는 것을 사용합니다. 즉, Lipschitz 연속성이며, 이것이이 표현의 유래이기도합니다. Lipschitz 연속성이 균일 한 연속성을 의미한다는 것을 증명해야하지만 기본으로 간주되기 때문에 종종 생략됩니다.
  2. 이유를 모르겠다 $M=0$ 부등식을 만족시키는 모든 함수는 별도로 다루어야합니다. $M=0$ 긍정적 인 것에 대한 불평등을 만족시킬 것입니다. $M$.