증명 $\sum {\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {\prod \left( a+b \right) }{16abc}}\geq \frac{5}{4}$

Question

에 대한 $a,b,c>0.$ 알다$:$ $${\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {bc}{ \left( b+c \right) ^{2}}}+{\frac {ac}{ \left( c+a \right) ^{2}}}+\,{\frac { \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) }{16abc}}\geqslant \frac{5}{4}$$ AM-GM은 쉽게 죽이지 만 SOS를 얻는 것은 어렵다고 생각합니다$,$ 난 못해!

만약 $c=\min\{a,b,c\},$ 우리는 Maple에서 다음을 얻습니다.$:$

그러나 그것은 추악합니다. 그래서 또 다른 SOS를 원합니다.

추신 :이 불평등은 Nguyen Viet Hung의 것입니다.

여기에 AM-GM 증명이 있습니다. https://www.facebook.com/groups/1486244404996949/permalink/2695082927446418/

따라서 AM-GM 증명이 필요하지 않습니다.

Answer 1

예, SOS가 도움이됩니다.

우리는 증명해야합니다 $$\frac{\prod\limits_{cyc}(a+b)}{16abc}-\frac{1}{2}\geq\sum_{cyc}\left(\frac{1}{4}-\frac{ab}{(a+b)^2}\right)$$ 또는 $$\frac{\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2}{16abc}\geq\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}$$ 또는 $$\sum_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{4}{(a+b)^2}\right)\geq0$$ 또는 $$\sum_{cyc}\frac{(a-b)^4}{ab(a+b)^2}\geq0.$$