증명의 순환 추론 $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
저는 방금 엡실론-델타 한계 증명에 대해 배우기 시작했고, 한계의 엡실론-델타 정의를 사용하여 증명하는 방법을 알고 싶습니다. $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
시도했지만 실패했기 때문에 온라인에서 찾아 본 결과 신원을 사용하는 것이 트릭임을 알았습니다. $\sin x < x$. 이 신원을 사용하지 않는 증거를 찾을 수 없습니다.
나는이 정체를 전에 본 적이 없었기 때문에 그 증거를 찾아 평균값 정리를 사용하는 이 증거 를 찾았습니다 . 다시 말하지만, 아직 평균값 정리를 배우지 않았지만 웹 사이트에 따르면 지속적이고 미분 가능한 기능이 필요합니다.$f$.
그러나 연속성의 개념은 엡실론-델타 한계 정의를 사용하여 정의됩니다! 사실, 사실$\sin(x)$ 연속이란 정확히 내가 위에서 증명하려는 진술입니다. $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
이것은 분명히 순환 추론입니다. 내 질문은 어떻게 피할 수 있습니까? 증명할 방법이 있어야합니다.$\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$ 정체없이 $\sin x < x$, 또는 우리는 증명해야 $\sin x < x$죄가 계속된다는 사실없이. 아니면 세 번째 옵션이 있다고 생각합니까? 나는 그것을하는 방법에 대한 답을 찾을 수 없습니다. 가장 이상하다고 생각하는 ...
답변
매우 분석적인 접근 방식은 적분에서 시작하여 $\log, \exp, \sin$ 그것들이 그들의 영역에서 매끄럽고 따라서 연속적임을 보여줍니다.
먼저 자연 로그를 다음과 같이 정의합니다. $$ \ln x := \int_1^x \frac{dt}{t} $$ 이 정의와 통합 규칙을 사용하여 로그 법칙을 쉽게 표시 할 수 있습니다. $\ln$ 차별화 할 수 있습니다.
그런 다음 지수 함수를 역으로 정의합니다. $$ \exp := \ln^{-1} $$ 역함수 정리에 의해 $\exp$ 차별화 가능하므로 연속적입니다.
Maclaurin / Laurent 시리즈 $\exp$ 수렴 반경이 무한하므로 $\exp$ 확장 가능 $\mathbb{R}$ 모든 기능을 원활하게 $\mathbb{C}.$ 따라서 함수를 정의 할 수 있습니다. $\sin$ 으로 $$ \sin x := \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i} $$ 부드럽고 연속적입니다.
삼각 정체성으로 이것을 할 수 있습니다. 각도 덧셈 식별 기준$$\sin(x + \delta) = \sin(x) \cos(\delta) + \cos(x) \sin(\delta),$$ 연속성을 증명하는 것으로 충분합니다. $\sin(x)$ 과 $\cos(x)$ 같이 $x \to 0$. 뿐만 아니라$\sin(-x) = -\sin(x)$ 과 $\cos(-x) = \cos(x)$, 올바른 연속성 을 증명하는 것으로 충분합니다.$x \to 0^+$.
우리는 또한 속성을 사용할 것입니다 $\sin(x)$ 증가하고있다 $[0, \pi/2)$ 과 $\cos(x)$ 같은 간격으로 감소하고 있습니다. $\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$, 그리고 $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2.$
그래서 당신이 나에게 가치를 준다고합시다 $\epsilon > 0$, 그리고 당신은 내가 $\delta > 0$ 그래서 $\sin([0, \delta)) \subseteq [0, \epsilon)$. 때문에$\sin(x)$ 증가하고 있습니다. $\delta$ 그래서 $\sin(\delta) < \epsilon$. 에서 시작$x = \pi/4$, 반각 정체성을 반복해서 사용할 수 있습니다 $$\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}} = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}} = \sin(x) \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}}.$$
의 위에 $[0, \pi/4]$, $\sqrt{2}/2 \leq \cos(x) \leq 1$. 이후$\sqrt{2}/2 > 7/18$, 우리는 $2(1 + \cos(x)) \geq 2(1 + 7/18) = 25/9$ 이 범위에서
\begin{align*} \sin \left( \frac{x}{2} \right) &\leq \frac{3}{5} \sin(x), \\ \sin \left( \frac{x}{2^n} \right) &\leq \left( \frac{3}{5} \right)^n \sin(x), \ \end{align*}
어떠한 것도 $x \in [0, \pi/4]$. 그러므로 당신이 말해 주면$\epsilon$, 나는 항상 가치를 찾을 수 있습니다 $N$ 그래서 $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{3}{5} \right)^N < \epsilon$, 내 가치 $\delta$ 이다 $\frac{\pi}{4*2^N} = \frac{\pi}{2^{N+2}}$. 이것은$\lim_{x \to 0^+} \sin(x) = 0$.
때문에 $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$, 그것은 또한 다음과 같습니다 $$\lim_{x \to 0^+} \cos(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \sin^2(x)} = \sqrt{1 - 0^2} = 1,$$ 그리고 우리는 필요한 올바른 연속성을 가지고 있습니다. $\sin(x)$ 과 $\cos(x)$ ...에서 $x = 0$. QED.
그것을 정당화하는 것은 정말 간단합니다 $sin$ 취한 후 정의와 함께 0에서 연속적입니다. $\delta = \varepsilon$. 그런 다음 @ user2661923 (위) 게시물의 공식 (5)는 연속성에 대한 좋은 공식적인 정당성을 제공합니다.$sin$ (그것을 사용하여 $cos$ 제한됨).
나는 순환 추론이 관련되어 있다는 OP의 논리에 동의합니다. 사실 "Calculus 2nd Ed"를 사용했습니다. 미적분을 공부하기 위해 Apostol에 의해. 이 책에서 Apostol은 먼저 사인 및 코사인 함수의 개념을 공리적으로 도입 하여 다음 4 가지 공리를 충족하는 함수 를 찾고자했습니다 .
(1) 사인 및 코사인 함수는 실제 라인의 모든 곳에서 정의됩니다.
(2) 특수 값 : $\cos 0 = \sin(\pi/2) = 1, \;cos \,\pi = -1.$
(삼) $\cos(y - x) = \cos y \cos x + \sin y \sin x.$
(4) $0 < x < \pi/2$:
$\displaystyle 0 < \cos x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}.$
Apostol 이후 :
(a) 사인과 코사인의 전통적인 개념이 위의 공리를 만족하는 한 기하학적으로
입증 되었습니다.$\sin x, \,\cos x$ 다음과 같이 해석됩니다. $\sin x$ 라디안, $\cos x$ 라디안 : 어디 $2\pi$ 라디안 = $360^{\circ}.$
(b)
연속성, 미분, 통합 및 테일러 시리즈 사인 및 코사인을 포함하는 다른 모든 삼각 정체성이 이러한 공리에서 흘러 나옴을 입증했습니다.
....................
OP의 쿼리를 올바르게 이해하면 위의 공리 (4)의 이점없이 사인 함수가 모든 곳에서 연속적임을 설정하고 싶습니다.
이것이 가능한지 결정하는 것은 매우 어렵습니다. 정확하게 이후의 결과를 결정하는 것은 매우 어렵다 ulimately 위의 공리 (4)이 필요합니다.
아마도 진짜 질문은-의도 된 솔루션은 무엇입니까? 나는 그것을 찌를 것이다. 내 시도 (아래) 에서 사인 함수가 연속적 이라고 가정 합니다.$x = 0.$ OP가 무엇을 증명해야하는지에 비추어 볼 때이 가정은 정당하지 않다고 쉽게 주장 할 수 있습니다.
내가 아는 한, 위의 공리 (1)에서 (3)까지의 결과 중 하나는 [즉, 공리 (4)는 여기서 사용되지 않음]입니다.
(5) $\displaystyle \sin x - \sin a = 2 \sin\left(\frac{x - a}{2}\right) \times \cos\left(\frac{x + a}{2}\right).$
코사인 함수는 제한된 함수이기 때문에 [즉, $\theta, |\cos \theta| \leq 1|$],
(5)는 다음을 의미합니다.$|\sin x - \sin a| \leq 2 \left|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)\right|.$
내가보기에 임무는 모두에게 $\epsilon > 0,$ 존재한다 $\delta > 0$ 그런
$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |(\sin x) - (\sin a)| < \epsilon.$
고르다 $\delta > 0$ 그래서 $\sin (\delta/2) < \epsilon/2.$
사인 함수는 $x = 0,$이것은
(6) 만약$|(x - a)| < \delta,$ 그때 $|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)| < \sin (\delta/2) < \epsilon/2$
필요에 따라.
추가
위의 시도를 검토하면서 공리 (1)에서 (3)까지의 다른 결과 중 하나를 추가하는 것을 잊었다는 것을 알았습니다.
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1.$
이 결과는 코사인 함수가 다음에 의해 제한된다는 가정을 지원합니다. $\pm 1.$
부록 -2
추론 주변 (6)이지만 드리겠습니다 , 여기 내 발표했다 또한 부주의.
사인 함수는 $\theta = 0,$
주변 에 이웃 이있다$(\theta = 0)$ 그런 $\alpha$ 이 동네의 내부는
$|\sin(\alpha/2)| < \sin(\delta/2).$
따라서, $(x-a)$ 이 이웃에 있어야합니다.