증명하고 있습니다. $X$ 초소형 Hausdorff iff입니다 $X\times Y$ 이다 $T_4$ 모든 소형 Hausdorff 용 $Y$'타마 노의 정리 없이는 가능합니까?

Question

$X$ 초소형 Hausdorff iff입니다 $X\times Y$ 이다 $T_4$ 모든 소형 Hausdorff 용 $Y$

이 정리의 경우 순방향 함축은 표준 증명을 가지며 역 함축은 일반적으로 압축을 사용하는 Tamano의 정리를 사용하여 증명됩니다.

그러나 나는 압축에 대해 많이 알지 못합니다. 그래서 나는 그것을 사용하지 않는 역 함의에 대한 증거가 있다면 선호합니다. 온라인에서 찾아 보았지만 아무 소용이 없습니다. 그렇다면 그러한 증거가 있습니까? 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다!

Answer 1

Lemma 2.5 (및 주변 결과) 는이를 먼저 증명 한 Morita의 고전 논문 에서 대부분의 작업을 수행 합니다 . 서수의 콤팩트 한 테스트 공간을 사용$W(\omega_\alpha + 1)$증명에 대한 간단한 눈으로 압축을 사용하지 않습니다. 이는 셀 수없이 초소형 공간에 대한 Dowker의 결과를 일반화 한 것입니다.

오른쪽 조건이 충족되면 모든 추기경에 대해 $\mathfrak{m}$, $X \times [0,1]^{\mathfrak{m}}$ 이다 $T_4$ 그것은 의미 $X$ 이다 $\mathfrak{m}$-모든 추기경을위한 paracompact (이것은 종이에 있습니다) (그리고 이미 Hausdorff는 사소하게). 그래서$X$ 초소형 Hausdorff입니다.

Noble이 2002 년에 작성한 이 개요 문서 도 비슷한 질문에 대한 것이므로 관심을 가질 수 있습니다. 또한 Noble의 정리를 다룹니다.$X$ 이다 $T_1$ 과 $X^\kappa$ 모두에게 정상이다 $\kappa$, 다음 $X$ 컴팩트합니다.