직교 투영이 대각선 가능하다는 것을 보여줍니다.
허락하다 $S \subset V$ 유한 차원 벡터 공간의 부분 공간 $V$. 직교 투영이$P_S:V \to S$대각선이 가능합니다. 이 질문을 시작하는 방법을 모르겠습니다. 누군가가 힌트로 시작하도록 도와 줄 수 있습니까?
답변
허락하다 $u_1,\ldots,u_d$ 직교 근이된다 $V$ 그래서 첫 번째 $k$ 기저 벡터는 부분 공간에 있습니다. $S$. 그때$P_S(u_j)=u_j$ ...에 대한 $j\le k$. 또한,$P_S(u_j) = 0\cdot u_j$ ...에 대한 $j > k$.
자세한 내용 : 선형 변환$T:V\rightarrow V$ 기준이있는 경우 대각 화 가능 $V$변환의 고유 벡터로 구성됩니다. 직교 투영$P_S$ 부분 공간에서 ID 역할을합니다. $S$ 모든 요소를 매핑합니다. $S^\perp$ (에 직교하는 벡터 $S$) ~ $0$. $P_S$ 에 의해 정의된다 $P_S^2=P_S$ 과 $P_S^*=P_S$. 직교 투영의 이미지$P_S$ 될거야 $S\subset V$ 커널은 $S^{\perp}$.
우리가 알고 있기 때문에 $\dim(S)+\dim(S^{\perp}) = \dim(V)$, 그리고 우리는 $P_{S}$ 의 정체성 역할을 $S$ 및 역할 $0$ 의 위에 $S^{\perp}$, 우리는 대각선으로 $P_{S}$ 어떤 근거로 $u_1,\ldots, u_d$ 처음으로 $\dim(S)$ 요소 $S$ 그리고 마지막 $\dim(S^{\perp})$ 요소 $S^{\perp}$. 이러한 기반은 항상 존재합니다. 예를 들어$S$ 의 기초에 $V$, 그런 다음 그람 슈미트 프로세스를 적용합니다.
참고 $P_S$ 직교 기반으로 대각화할 수 있기 때문에 실제로 단일 / 직교 대각 화가 가능합니다.
직교성 조건이 중복됩니다. 모든 프로젝션$V$, 그것이 직교하든 아니든, 대각선이 가능합니다.
Apporach 1 : 최소 다항식 $P$ 나눠야한다 $x(x-1)$.
접근법 2 : as $P$ 투영, 우리는 $V=PV\oplus\ker(P)$ 그리고 당신은 고유 기저를 구성 할 수 있습니다 $P$.