진폭은 어떻게 되었습니까? $\cos$그리고 $\sin$선택한?

Question

나는 우리가 사용하는 이유를 이해하지 못합니다$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$아래 변환에서. 누군가 설명을 도와줄 수 있습니까?

~에서

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

로 변환

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

허락하다$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$그리고$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Answer 1

형식의 중요한 부분에 집중합시다.$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$우리가 표현하고자 하는$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$필요(그리고 충분) 조건은$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$따라서$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. 따라서$$ A^2=a^2+b^2 $$우리는 원한다$A>0$(필수는 아니지만 편리함), 그래서 우리는$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$마지막 두 가지 요구 사항을 충족할 수 있습니다.$(a/A,b/A)$는 단위 원의 한 점입니다.

Answer 2

이것은 벡터를 정규화하는 방법입니다.$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$그건

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

길이가 같음$1$이를 통해 후속 변환을 수행할 수 있습니다.$\cos \phi$그리고$\sin \phi$.