짝수와 홀수 함수의 합으로 함수를 작성하는 것이 왜 중요한가요?
기능 $f(x)$ 짝수와 홀수 함수의 합으로 작성할 수 있습니다.
$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{Even}}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{Odd}}$$
내 질문은 왜 우리 가이 두 개의 짝수 및 홀수 함수의 합으로 함수를 작성하는 것이 중요합니까? 그 응용 프로그램이 있습니까?
답변
내가 고등학생이었을 때 나는 당신이 쓴 짝수 / 홀수 분해가 일종의 특이하고 근본적이지 않은 것 같다고 생각했습니다. 더 많은 수학을 배운 후에 나는 그 뒤에있는 방법 (평균화를 통해 "대칭 조각"을 추출하고 안티 평균화라고 부를 수있는 것)이 실제로 수학에서 두 가지 중요한 프로세스의 매우 간단한 예임을 깨달았습니다. 고유 공간 분해와 대칭 추출을위한 그룹 평균화 함수 (또는 벡터 등 )의 조각 . 내가 아래에 쓰는 것은 짝수 / 홀수 분해가 미적분 문제를 해결하는 데 도움이되는 새로운 상황을 제공하기위한 것이 아니라 동일한 아이디어의 더 많은 예를 보여 주므로 수학에서 상당히 광범위하게 발생한다는 것을 알 수 있습니다.
ID 연산 이 되기 위해 두 번 반복 되는 연산이있는 거의 모든 상황에서 짝수 / 홀수 분해의 아날로그를 얻습니다. 다음은 세 가지 예입니다.
행렬 전치 (여기서 $M^{\top\top} = M$)는 대칭 인 행렬의 합으로 정사각형 행렬을 표현합니다 ($M^\top = M$) 및 비대칭 ($M^\top = -M$) $$ A = \frac{A + A^\top}{2} + \frac{A - A^\top}{2} $$
복잡한 활용 (여기서 $\overline{\overline{z}} = z$) 표준 형식으로 복소수를 쓰는 데 "짝수 / 홀수"유형의 관점을 제공합니다. $a+bi$, 이것은 실수의 합이기 때문입니다 (적합 $\overline{w} = w$) 및 순수 허수 (적합 $\overline{w} = -w$) : $$ z = \frac{z + \overline{z}}{2} + \frac{z - \overline{z}}{2} = a + bi $$ 어디 $z = a + bi$ 과 $\overline{z} = a - bi$.
함수에 대한 스왑 연산자 ($f(x,y) \mapsto f(y,x)$) 또는 텐서 ($v \otimes w \mapsto w \otimes v$) 대칭 및 비대칭 함수 또는 텐서의 합계로 함수 또는 텐서를 표현합니다. $$ f(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} + \frac{f(x,y) - f(y,x)}{2} $$ 과 $$ v \otimes w = \frac{v \otimes w + w \otimes v}{2} + \frac{v \otimes w - w \otimes v}{2}. $$ 이것은 양자 역학에서 역할을하며, 보손 (대칭 파동 함수를 가짐)과 페르미온 (반대 칭 파동 함수를 가짐)을 구별하는 기초가됩니다.
나는 거의 모든 상황에서 짝수 / 홀수 분해와 같은 것을 얻는다고 말했습니다. 왜냐하면 때때로 그 부분 중 하나가 0이어서 흥미롭지 않기 때문입니다. 예를 들어 180도 회전$R$ 비행기의 $R(v) = -v$ 모든 $v$ 에 $\mathbf R^2$, 그래서 여기 전체 공간이 "이상하게 보입니다" $R$. 벡터 없음$\mathbf R^2$ 원점을 제외한 180도 회전으로 고정됩니다.
사용 "주문 $2$"여기서는 대수를 매우 간단하게 유지하지만 차수 2의 대칭보다는 고차 대칭을 고려할 수도 있습니다.$n \geq 1$ 함수 분해 시도 $f:\mathbf C \to \mathbf C$ 함수의 합으로 $f_k(z)$ "뒤틀린" $k$내부 스케일링 하에서 권력은 $n$통일의 뿌리 : $f_k(\zeta z) = \zeta^k f_k(z)$ 모든 $n$통일의 뿌리 $\zeta$ (또는 동등하게 $\zeta = e^{2\pi i/n}$) 및 모든 복소수 $z$, 어디 $0 \leq k \leq n-1$. 경우$n=2$ 짝수 / 홀수 기능 사용 $\mathbf C$ ($f_0(-z) = f_0(z)$ 방법 $f_0$ 짝수 함수이고 $f_1(-z) = -f_1(z)$ 방법 $f_1$이상한 기능입니다). 취득$n = 4$, 우리는 각 함수를 분해하려고 할 수 있습니다 $f:\mathbf C \to \mathbf C$ 네 가지 기능의 합으로 $$ f(z) = f_0(z) + f_1(z) + f_2(z) + f_2(z) $$ 어디 $f_0(iz) = f_0(z)$, $f_1(iz) = if_1(z)$, $f_2(iz) = -f_2(z)$, 및 $f_3(iz) = -if_3(z)$ 모든 $z \in \mathbf C$다음은 각 함수에 대한 공식입니다. $$ f_0(z) = \frac{f(z) + f(iz) + f(-z) + f(-iz)}{4}, $$ $$ f_1(z) = \frac{f(z) - if(iz) - f(-z) + if(-iz)}{4}, $$ $$ f_2(z) = \frac{f(z) - f(iz) + f(-z) - f(-iz)}{4}, $$ $$ f_3(z) = \frac{f(z) + if(iz) - f(-z) - if(-iz)}{4}. $$ 이 평균 공식은 함수의 짝수 / 홀수 부분을 결정하기 위해 작성한 공식의 일반화입니다. $\mathbf R \to \mathbf R$. 함수에 대한 푸리에 변환에는 순서가 있으므로 푸리에 분석에 유용합니다.$4$.
여기에 제시된 아이디어는 축소 불가능한 표현의 합으로서 유한 그룹의 표현을 분해하는 것으로 더욱 확장됩니다. 순환 순서 그룹의 경우$2$축약 할 수없는 두 가지 표현이 있으며 이는 수식에서 짝수 함수와 홀수 함수의 모양에 반영됩니다. 따라서 질문의 함수에 대한 짝수 / 홀수 분해는 수학에서 정말 중요한 아이디어의 특별한 경우입니다. 인공적 미적분 문제를 해결하는 것은 단지 "속임수"가 아닙니다.
이 분해를위한 정말 멋진 응용 프로그램 (YouTube 채널 "Flammable Maths"에서 보았습니다)은 다음 형식의 적분을 평가하는 것입니다. $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx$$ 어디 $t,a>0$ 상수, $E(x)$ (연속적인) 짝수 함수이고 $O(x)$(연속) 홀수 함수입니다. 설정하면$f(x)=\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}$ 쓰기 $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ 당신은 말할 수 있습니다 $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\Bigg)dx+\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\Bigg)dx$$RHS의 마지막 적분은 대칭 도메인에서 홀수 함수를 통합하기 때문에 사라집니다. 약간의 대수로$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}E(x)$ 우리에게 굉장한 결과를주는 $$\int_{-a}^a\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}dx=\int_{0}^aE(x)dx$$정말 멋지다! 이것은 우리가 다음과 같이 말할 수 있음을 의미합니다.$$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4-x^2+1}{1+3^{\sin^2(x)\tan(x)+x^5+x}}\Bigg)dx=\int_0^1\big(x^4-x^2+1\big)dx=\frac{13}{15}$$ 이것은 또한 꽤 끔찍한 이중 적분을 계산하는 데 사용할 수 있습니다! $$\int_0^1 \int_{-x^2}^{x^2}\Bigg(\frac{xy^2+x^3}{1+3^{x\tan^{11}(y)+e^x\sin^7(y)}}\Bigg)dydx=\int_0^1 \int_0^{x^2}(xy^2+y^3)dydx=\frac{5}{24}$$ 그것을 사랑하십시오.
편집 :이 통합 기술은 실제로 형식의 적분으로 일반화됩니다.$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx$$ 어디 $E_1(x),E_2(x)$ 임의의 (연속적) 기능이지만 $O(x)$임의의 (연속적인) 홀수 함수입니다. 위에서 설명한 것과 똑같은 절차를 사용하여 다음과 같이 말할 수 있습니다.$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{0}^aE_1(x)dx$$ 즉 $$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4+x^2+1}{1+\big(x^2e^{-x^4}+\cos(x)\sin(x^2)\big)^{x^2\tan(x^3)+x}}\Bigg)dx=\int_0^1(x^4+x^2+1)dx=\frac{23}{15}$$
KCd의 답변은 제가 이야기 할 내용을 전달하면서 언급하지만 이에 대해 자세히 설명하겠습니다. 짧은 답변은 푸리에 분석 입니다.
함수를 홀수 및 짝수 구성 요소로 분할하는 것은 푸리에 변환 및 관련 푸리에 급수로 작업 할 때 매우 유용한 문제 해결 기법 입니다. 순전히 짝수이거나 순전히 홀수 인 함수는 푸리에 변환 / 시리즈를 찾기가 더 쉽습니다.
틈새 주제처럼 보일 수 있지만 푸리에 분석은 가장 강력하고 널리 사용되는 수학적 기술 중 하나입니다. STEM 분야를 만나지 않고서는 멀리 갈 수 없으므로 푸리에 분석을 더 쉽게 만드는 것이 생각보다 더 중요합니다.
푸리에 분석이 무엇이며 어떻게 작동하는지에 대한 인터넷에 대한 풍부한 지식이 있으므로 여기서 반복하지 않겠습니다. 나는 이 YouTube 비디오 가 주제에 대한 좋은 소개 임을 발견 했습니다 .
홀수 및 짝수 함수 분해의 유명한 예는 오일러의 공식으로 제공됩니다. \begin{align*} \color{blue}{e^{iz}}&\color{blue}{=}\color{blue}{\cos z+i\sin z}\\ &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}+\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\qquad\qquad z\in\mathbb{C}\\ \end{align*} 많은 애플리케이션에서 사용됩니다.