조건을 만족하는 모든 복소수 결정- $|z|=2$ $\space$ 과 $\space$ 임 $(z^6)=8$ 임 $(z^3)$
모든 복소수 결정 $z$ 다음 조건을 충족합니다.
$|z|=2$ $\space$ 과 $\space$ 임$(z^6)=8$ 임$(z^3)$
나는 처음 계산했다 $z^3$ 과 $z^6$.
$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$
$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$
$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$
그런 다음 방정식 Im에 가상 부분을 넣습니다.$(z^6)=8$ 임$(z^3)$ 그리고 다음을 얻었다
$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$
$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$ (*)
$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$ (1)
...에서 $|z|=2$ 따르다 $\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$ (2)
(1)에 (2)를 넣은 후
$x^3-3x=1$
그리고 $x=2\cos\varphi$
방정식 $8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$ 변형 될 수 있습니다
$2\cos3\varphi=1$(나는 이것을 신원의 도움으로 얻었습니다.$\cos {3x}$)
그리고
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$
$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$, $\space$ $k \in \mathbb{Z}$
다르게 작성된 솔루션은
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$
(*) 표현과 일치 $3x^2-y^2$삼진입니다. 우리는 그것을 포함해야합니다
$3x^2-y^2=0$
$3x^2-(4-x^2)=0$
$4x^2=4$
$x^2=1$
$(2\cos\varphi)^2=1$
$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$
이 방정식을 풀면
$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$
내 교과서의 해결책 :
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$.
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$.
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$.
누군가 내가 실수를 찾도록 도와 줄 수 있습니까?
실수를 발견하면 자유롭게 편집하십시오. 아래 그림에는 10 가지 솔루션이 모두 나와 있습니다.
답변
지수 형식으로 해결하는 것이 더 짧습니다. $z$: 모듈러스가 $2$, 우리는 쓸 수있다 $\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$. 그리고 허수 부의 방정식은$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$ 이 간단한 표준 삼각 방정식이 $\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$. 그 솔루션은$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$ 짧은 형태의 솔루션 $\theta$ 될 것이다 $$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$
일반성을 잃지 않고 방정식을 다음과 같이 줄일 수 있습니다. $$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$
이것으로부터 우리는 언제 $z=\omega_i$ (어디 $\omega_i$ 단결의 세제곱근입니다) 방정식은 확실히 사실입니다.
그 후 다항식 확장을 사용하여 $z^6 $ 과 $z^3$ 고려하면 $z=x+i y$ 효과적으로 해결하는 $$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$ 조건에 따라 $$x^2+y^2=1$$ 단위 원입니다.
여기 에서 다음 그래프에 액세스 할 수 있습니다.
빨간 원 검정 그래프의 교점 과 표지 좌표 청색 점은 요구되는 솔루션이다.