조건부 확률을 두 번 적용

Aug 17 2020

총 확률의 법칙에 따르면 $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. 같은 논리를 적용하여$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ 그러나 확률을 확장 할 때 LHS가 RHS와 일치하지 않기 때문에이 결론이 올바르지 않다는 것을 알고 있습니다.

어떻게 제대로 확장 할 수 있습니까? $P(A|B)$ 다른 이벤트에 조건을 지정하여 $C$?

답변

JohnWhite Aug 18 2020 at 02:52

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$