종속 확률 변수의 독립 샘플링
허락하다 $x_1, \ldots, x_n$각각 값을 취하는 종속 확률 변수 일 수 있음$x_i \in \{0, 1, 2\}$. 모든 결과에서 2와 같은 확률 변수의 수가 정확히 1이라고 가정합니다.$i \in \{1, \ldots, n\}$ 밝히다 $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ 그리고 각각 $i \in \{1, \ldots, n\}$ 허락하다 $y_i$ 확률과 독립적으로 1 인 Bernoulli 랜덤 변수 $f_i$ 그렇지 않으면 0입니다.
다음 추측이 맞습니까, 아니면 분포가 있습니까? $x_i$그것을 반박하고 있습니까?
추측 : 고정 된$\epsilon > 0$ (즉 $\epsilon$ 독립적 인 $n$) 적어도 확률로 $\epsilon$, 정확히 하나의 인덱스가 있습니다. $i$ 어디 $y_i = 1$.
관련 질문 : 종속 확률 변수 합계 분산에 대한 경계
답변
대답은 "아니오"입니다 (질문을 올바르게 이해 한 경우).
다음과 같은 교환 가능한 공동 분포를 고려하십시오. $x_i$에스. 이벤트에서$A$, 확률로 발생 $1/\sqrt n$, 모든 $x_i$s는 1이고 2는 예외입니다. 보수 이벤트에서 $B$, 모든 $x_i$s는 1에 대해 0 제외됩니다.
이 분포에서 $f_i$ 0 또는 $1/\sqrt n$. 허락하다$Y=\sum y_i$. 이후$E[ Y|A]=\sqrt n$, 및 $E[Y|B]=1/\sqrt n$, 두 경우 모두 1에서 너무 멀다. 따라서 하나의 긍정적 인 확률이$b_i$ 사라집니다.