주어진 조건에서 불평등 증명

Question

다음 연습을 고려하십시오.

한다고 가정 $f$ 만족하다 $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ 보여줘 $$f(kx+(1-k)y)\leq kf(x)+(1-k)f(y)$$ 할때는 언제나 $k$ 사이의 유리수입니다 $0$ 과 $1$, 및 형식 $\frac{m}{2^n}$

귀납법을 사용해 보았습니다. 결과가 모든 항목에 대해 유지된다고 가정합니다.$k$ 형태의 $\frac{m_0}{2^n}$ 와 $m_0<2^n$. 이제$k=\frac{m}{2^{n+1}}$ 와 $m<2^{n+1}$. 하지만 어떻게해야할지 모르겠습니다.

Answer 1

여기에 대한 예가 있습니다. $n=2$그리고 이것이 여러분에게 인덕션에 대한 몇 가지 아이디어를 제공하기를 바랍니다 : \ begin {align *} f \ left (\ frac {x} {4} + \ frac {3y} {4} \ right) = f \ left (\ frac {x + y} {4} + \ frac {y} {2} \ right) & \ leq \ frac {1} {2} f \ left (\ frac {x + y} {2} \ right) + \ frac {f (y)} {2} \\ & \ leq \ frac {f (x)} {4} + \ frac {f (y)} {4} + \ frac {f (y)} {2} \\ & = \ frac {f (x)} {4} + \ frac {3f (y)} {4} \ end {정렬 *}