주어진 푸리에 계수가있는 원에 대한 확률 측정의 존재

Question

우리는 Hermitian 대칭 (즉, $f_{-n} = f_n^*$ 어떠한 것도 $n \in \mathbb{Z})$ 순서 $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ 어떤 경우에 양의 정의 $N \geq 0$ 그리고 $z_0 , \ldots, z_N \in \mathbb{C}$, \ begin {equation} \ sum_ {n, m = 0} ^ N f_ {nm} z_n z_m ^ * \ geq 0. \ tag {1} \ end {equation}

Herglotz-Bochner 정리에 따르면 Hermitian 대칭 시퀀스 $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ 와 $f_0 = 1$ 확률 측정 값이있는 경우에만 양의 정의 $\mu$ 원 안에 $\mathbb{T} = \mathbb{R} / \mathbb{Z}$되도록 \ 시작 {식} f_n가 = \ 모자 {\ MU} _n = \ INT _ {\ mathbb {T}} \ mathrm {E} ^ {2 \ PI \ mathrm {I} NX} \ mathrm {D} \ mu (x). \ end {등식}

이제 벡터가 주어 졌다고 가정합니다. $(f_{-N_0} , \ldots, f_0 , \ldots , f_{N_0}) \in \mathbb{C}^{2N_0+1}$ 그런 $f_0 = 1$ 과 $f_{-n} = f_n^*$ 어떠한 것도 $|n|\leq N_0$ 그리고 (1) 모든 $N \leq N_0$. 벡터를 완성하는 것이 항상 가능합니까?$(f_n)_{|n|\leq N_0}$ 양의 정의 시퀀스로 $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$, 또는 동등하게 항상 확률 측정이 있습니까? $\mu$ 에 $\mathbb{T}$ 그런 $\hat{\mu}_n = f_n$ ...에 대한 $|n|\leq N_0$?

Answer 1

예, 작동합니다. 조건 (1)은$\int |p(e^{ix})|^2\, d\mu(x)\ge 0$ 모든 다항식에 대해 $p(z)=\sum_{n=0}^N p_n z^n$. 에 의해 페이 르 - Riesz 정리 ,이 사각형$|p|^2$ 삼각 다항식을 정확하게 범위 $f=\sum_{|n|\le N} f_n z^n$ 와 $f\ge 0$ 의 위에 $|z|=1$.

따라서이 벡터 공간에는 양의 선형 함수가 있습니다. $\{ f = \sum_{|n|\le N} f_n z^n \}$. 이것은 포지티브 선형 기능으로 확장 될 수 있습니다.$C(T)$; 배경 은 여기 를 참조 하십시오 . 이 확장은 우리에게 원하는 측정을 제공합니다.