콤팩트 한 복잡한 표면에서 모든 홀로 모픽 1 형이 닫힙니다.

Question

작고 복잡한 매니 폴드 $X$ 그런 다음 모든 홀로 모픽 1 형 $\omega\in H^{0}(X,\Omega^{1})$ 만족하다 $d\omega=0$. 이 문제를 간단한 방법으로 해결하는 방법을 알고 싶습니다.

Answer 1

언제 $X$ 콤팩트 Kahler, Hodge 정리, $H^0(X,\Omega^1)\cong H^{1,0}(X)$ 모두 고조파 형태로 표현됩니다. 특히 모든 홀로 모픽 $1$-형태는 고조파이므로 닫힙니다.

일반적으로 $X$조밀하고 복잡한 표면. 허락하다$\omega$ 홀로 모픽 1 형 $X$, Stokes 정리에 의해

$$\int_{X}d\omega\wedge d\bar{\omega}=\int_Xd(\omega\wedge d \bar{\omega})=0.\tag{1}\label{1}$$

반면에 $d\omega=fdz_1\wedge dz_2$ 로컬로 $f$ 홀로 모픽, 그래서 $$d\omega\wedge d\bar{\omega}=-|f|^2dz_1\wedge d\bar{z}_1\wedge dz_2\wedge d\bar{z}_2=4|f|^2dx_1\wedge dy_1\wedge dx_2\wedge dy_2,$$

와 $z_j=x_j+iy_j$, $j=1,2$. 지금 조건$(\ref{1})$ 암시 $f=0$, 그래서 $d\omega=0$.