코시 문제에 대한 존재와 고유성 증명

Question

다음 코시 문제 의 존재와 고유성 을 증명 하는 데 도움이 필요합니다 .

\ begin {cases} y ''+ e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {cases}

이것은 1 차 주문 시스템으로 다시 캐스팅 될 수 있습니다. $f$ 다음과 같이 정의됩니다. $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$

(로컬) 존재와 독특함을 증명하기 위해서는 $f$ 로컬 Lipschitz wrt입니다 $y$, (ODE의 RHS입니다)

나는 계산한다 :

$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$

그래서 $|x| < a$ (즉, 인근 $x_0=0$ 나는 가지고있다 $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$, 그래서 그것은 로컬 Lipschitz입니다 ( 그러나 전역 적으로는 아님)

모든 것이 맞습니까?

Answer 1

당신은 기능을 얻었다 $f(x,y)$잘못된. 여러분이해야 할 일은 다음의 1 차 도함수 역할을 할 세 번째 변수를 정의하는 것입니다.$y$. 원하는 기능은$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. 보여주고 싶은 기능은 Lipschitz입니다.

Answer 2

$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ 변수 변경 :$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$이것은 해가 잘 알려진 베셀 방정식입니다. 다음에서 Eq. (6) 및 (7)을 참조하십시오.https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ 과 $Y_0$각각 제 1 종 및 제 2 종 베셀 함수입니다. ODE의 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ 계수 $c_1$ 과 $c_2$ 조건에 따라 결정 $y(0)=1$ 과 $y'(0)=0$ 고유 한 솔루션으로 이어집니다. $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$