쿼터니언에서 j와 k는 i와 같지 않습니까? [복제]
많은 영상을 듣고 책을 읽고 있는데 매우 혼란 스럽습니다. 첫째, 쿼터니언이$\mathbb{R}^4$허수를 완전히 배제하는 것처럼 보입니다 (나는 추측했을 것입니다). 하지만 둘째로, 쿼터니언이 일종의 복소수와 비슷하다면 왜 우리는$j$ 과 $k,$ 왜 우리는 그냥 사용할 수 없습니까 $i$ 전역 ($a+ib+jc+kd$)는 ($a+ib+ic+id$) 그리고 그렇다면 어떤 방식으로 $i$ ~와 다르다 $j$ 과 $k$?
또한 쿼터니언이 회전과 관련이있는 것이 3D 공간이라면 왜 쿼터니언이 하이퍼 스피어에 있습니까? 평면에서 회전하는 작업을 수행하려면 3D 공간이 포함됩니까?
답변
쿼터니언은 유사하지만 복소수와 구별되는 수 체계를 구축합니다. 모든 쿼터니언은 다음 형식으로 작성 될 수 있습니다.$a + bi + cj + dk$ 과 $i,k,j$쌍으로 구별되는 것은이 표현이 실제로 고유한지 확인합니다. 만약$i=j=k$ 그럼 우리는 $$a + bi + cj + dk = a + (b+c+d)i + 0j +0k$$고유성을 위반합니다. 실제 선에 세 개의 독립적 인 가상 축을 추가하는 것으로 생각할 수 있습니다.$\Bbb R$즉, 4 차원 벡터 공간으로 만듭니다. 하지만 진짜 단서는 복소수처럼$i^2=-1$, 쿼터니언은 대수적 관계와 함께 제공됩니다 (나는 $i^2 = j^2 = ijk = -1$), 벡터 공간에서 일종의 곱셈을 할 수 있습니다. 이 곱셈은 회전 구성을 설명하는 데 매우 유용합니다.
마지막으로 쿼터니언이 $\Bbb R^4$ 보다는 $\Bbb R^3$. 회전축을 지정하는 쿼터니언 모방$r\in \Bbb R^3$ 뿐만 아니라 각도 $\alpha \in \Bbb R$, 수량이됩니다. $\Bbb R^4$. 원인 중 1 차원이 덜 필요한 오일러 각도를 사용할 수 있지만 쿼터니언의 멋진 특성이 거의 없습니다.
첫째, 쿼터니언이 $\mathbb{R}^4$ 허수를 완전히 배제하는 것처럼 보입니다 (나는 추측했을 것입니다).
텍스트는 쿼터니언이 실제라는 것을 의미하지는 않았지만 아마도 실제보다 4 차원적일 것입니다. $t+xi+yj+zk$ 4 개의 실제 매개 변수가 있습니다. $t,x,y,z$.
하지만 둘째로, 쿼터니언이 일종의 복소수와 비슷하다면 왜 우리는 $j$ 과 $k,$ 왜 우리는 그냥 사용할 수 없습니까 $i$ 전역 ($a+ib+jc+kd$)는 ($a+ib+ic+id$) 그리고 그렇다면 어떤 방식으로 $i$ ~와 다르다 $j$ 과 $k$?
이것은 일종의 복소수와 비슷하지만 두 개의 추가 가상 차원이 있습니다. 확장 된 유형의 복소수입니다. 참고$ijk=-1$ 동안 $iii=-i.$ 따라서 우리는 $j$ 과 $k$ 와 $i$.
또한 쿼터니언이 회전과 관련이있는 것이 3D 공간이라면 왜 쿼터니언이 하이퍼 스피어에 있습니까?
회전 각도 $\theta$ 한 방향으로 $n=(n_x,n_y,n_z),$ 어디 $|n|:=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}=1,$ 쿼터니언을 사용하여 설명 할 수 있습니다. $r=\cos\theta+n_x \sin\theta\,i+n_y\sin\theta\,j+n_z\sin\theta\,k$. 이것의 크기는$$ |r|=\sqrt{\cos^2\theta+n_x^2 \sin^2\theta+n_y^2\sin^2\theta+n_z^2\sin^2\theta} = 1. $$ 이것은 $r$ 4- 튜플으로 $(\cos\theta, n_x\sin\theta, n_y\sin\theta, n_z\sin\theta)$ 하이퍼 스피어에있다 $S^3 \subset \mathbb{R}^4.$
평면에서 회전하는 작업을 수행하려면 3D 공간이 포함됩니까?
평면에서의 회전의 경우 일반 복소수로 할 수 있습니다. 허락하다$(x,y)\in\mathbb{R}^2$ 비행기의 한 지점이되어서 $z=x+iy.$ 점을 각도로 회전하려면 $\theta$ 원점 주위에, 그냥 곱하십시오 $z$ 와 $e^{i\theta} = \cos\theta + \sin\theta\,i$ 결과의 실제 부분과 가상 부분을 취합니다.
귀하의 질문 은 수학적 대상 이 무엇인지에 대한 몇 가지 기본적인 오해를 반영한다고 생각합니다 . 오해 거기 특히 이다 이런 일이 "수학적 객체가 무엇으로 입니다 ."
즉, 두 개의 수학적 객체는 완전히 다르더라도 정확히 동일 할 수 있습니다. 몇 가지 예를 살펴보십시오.
- (a) 나눌 때 나머지 $12$, 모듈로 더하기 $12$ (예 : $6+7=1$); (b) 원점을 중심으로 회전$30^\circ$회전 구성과 관련하여; (c) 0이 아닌 나머지 모듈로의 곱셈$13$. 이 세 가지는 다른 객체이지만 동일한 산술 규칙을 따릅니다. 세 개 모두 그룹 의 구조를 가지고 있으며 세 개 모두$12$세 가지 요소 모두 작업을 반복적으로 사용할 때 모든 요소를 생성하는 하나의 요소 ( "생성자")가 있습니다. ((c)에서 나머지는$2$ 이러한 요소로 $2^0,2^1,\ldots 2^{11}$ 모두 다르다 $\pmod{13}$.)
- (a) 복소수 및 (b) 실수 쌍 : $\mathbb R\times\mathbb R=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb R\}$, 다음과 같이 추가됨 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ 다음으로 주어진 곱셈 $(a,b)(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$. 분명히 두 번째 경우에는$(a,0)$실제 복소수 처럼 "동작"$a$ 과 $(0,b)$ 순수한 허수처럼 "동작" $bi$. (사실로,$(0,1)$ "처럼 행동" $i$.)
이것의 교훈은 무엇입니까? 두 개의 수학적 객체가 정확히 동일하다면 두 개의 수학적 객체를 구별하고 싶지 않습니다. 단 , 객체로 만들어진 객체의 본질을 잊어 버리면 됩니다. 대수학에서 우리는 동형 의 정의를 사용하여 "구성 요소의 본질까지"동일하다는이 개념을 공식화합니다 . 동 형사상은 연산 결과를 연산 결과로 매핑하는 두 대수 구조에 대한 기본 집합 사이의 이분법입니다. 두 개의 대수 구조 사이에 동형이있는 경우이 두 구조를 "동형"이라고합니다. 즉, 하나의 요소를 다른 요소로 대체 할 수 있으며 모든 계산 규칙은 동일하게 유지됩니다. 즉, "구성 요소의 특성에 따라 동일"합니다. 따라서 수학에서 우리는 (많은 상호 동형 구조 중) 대수 구조의 어떤 예를 분석해야하는지 특별히 신경 쓰지 않습니다.
예를 들어, bijection을 만들면 $f:\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb C$, 주어진 $f(a,b)=a+bi$ -이것은 $\mathbb R\times \mathbb R$ (위에 주어진 덧셈과 곱셈 포함) $\mathbb C$(복소수 덧셈 및 곱셈 포함). 첫 번째 예에서 나머지를 식별하십시오.$x\pmod{12}$ 로테이션 $x\cdot 30^\circ$ 그리고 나머지 $2^x\pmod{13}$.
이제 쿼터니언으로 돌아갑니다. 그들이 실제로 무엇인지에 대해 생각할 필요가 없습니다. 쿼터니언과 그 사이의 연산에 대한 하나의 가능한 정의 만 있으면됩니다. 에 동형 아무것도 그 예는 똑같이 "사원 수"라고 할 수 있고, 아무것도 하지 그 예 동형은 잘 아닌 사원 수있다.
하나의 가능한 정의를 위해 $\mathbb R^4$ (실수의 사중 집합) 및 연산 정의 :
$$(a,b,c,d)+(p,q,r,s):=(a+pb+q,c+r,d+s)$$ $$(a,b,c,d)(p,q,r,s):=(ap-bq-cr-ds,aq+bp+cr-ds,ar-bs+cp+dq,as+br-cq+dp)$$
당신이 얻는 것은 쿼터니언입니다. 요소를 호출 할 수 있습니다.$(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ 이름 $i,j,k$, 각각 요소를 호출 할 수 있습니다. $(a,0,0,0)$ 다만 $a$ (에 대한 $a\in \mathbb R$)-조용히 식별 $\mathbb R\times\{0\}\times\{0\}\times\{0\}$ 와 $\mathbb R$동형을 통해 $a\mapsto (a,0,0,0)$,이 경우 증명할 수 있습니다. $(a,b,c,d)=a+bi+cj+dk$그리고 거기에서 가십시오. 물론 일부 회전을 식별 할 수 있습니다.$3D$ 쿼터니언이있는 공간-다시 쿼터니언의 특정 하위 집합에 대한 회전 집합 (구성과 관련)의 동형을 통해 (곱셈과 관련하여).
동형 구조는 모든 속성이 동일하므로 이제 쿼터니언이 복소수와 동형이 아님을 증명할 수 있습니다. (선형 대수 도구 사용 : 쿼터니언은 차원$4$ 실수에 대해 복소수는 차원입니다 $2$.) 또한 "위에서 설명한 종류의"쿼터니언 (즉, $\mathbb R^4$) 우리는 $i=(0,1,0,0)\ne(0,0,1,0)=j$) 따라서 동형 구조가 없으므로 $i=j$ 동형은 bijections이기 때문입니다. 즉, "일대일"이어야합니다.
내 더 큰 요점은 쿼터니언이 실제로 무엇인지 생각하는 데 시간을 소비하지 않는다는 것입니다. 그들의 속성을 연구하십시오. 같은 속성의 속성 될 것입니다 어떤 사원 수의 특정 인스턴스 - 즉의 어떤 사원 수의 많은 상호 동형 구조 중 하나. 수학자 교육의 일부는 한 구조에서 다른 동형 구조로 조용하고 원활하게 전환 할 수 있도록하는 것입니다. 우리는 항상 그렇게 할 수 있습니다. 여러분도 그렇게 할 수 있어야합니다.