Lagrange와 Leibniz의 미분 표기법의 차이점

Aug 21 2020

미적분을 배울 때 발견 한 한 가지 문제는 도함수를 표시하는 여러 가지 방법이 있다는 것입니다. 만약$y=f(x)=x^2$, 다음 우리는 쓸 수 있습니다

\begin{align} f'(x)&=2x \\ y'&=2x \\ \frac{df}{dx}(x)&=2x \\ \frac{df(x)}{dx}&=2x \\ \frac{d}{dx}f(x)&=2x \\ \frac{dy}{dx}&=2x \end{align}

그리고 이것은 단지 Lagrange와 Leibniz의 표기법입니다. 내가 문제가되는 것은 그들 모두가 파생물이 실제로 무엇인지에 대해 미묘하게 다른 것을 제안하는 것처럼 보인다는 것 입니다 . 함수입니까, 몫의 한계입니까, 아니면 둘 다입니까? 게시물을 간략하게 유지하기 위해 다음 사항에 집중하겠습니다.$f'(x)=2x$ 과 $\frac{dy}{dx}=2x$, 이것이 가장 일반적인 표기법 인 것 같습니다.

$$ f'(x)=2x $$

미분을 기울기 함수로 생각하는 것이 합리적입니다. $$ f'\colon x\mapsto\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ 이 경우 제한 표현식은 다음과 같습니다. $2x$, 그래서 우리는 쓸 수 있습니다 $$ f' \colon x \mapsto 2x $$ 그러나이 표기법은 다른 변수와 관련하여 함수를 구별하는 것이 무엇을 의미하는지 고려할 때 다소 반 직관적으로 보입니다. $x$. 파생 상품이 무엇인지 묻는다면$f(x)$ 에 관하여 $\frac{x}{2}$,이 질문이 의미가 있습니까? 단순히$f'(\frac{x}{2})$? 아니면 우리는 표현해야합니까$x^2$ 측면에서 $\frac{x}{2}$? 그리고 라그랑주 표기법을 사용하여이 도함수를 어떻게 표현할 수 있습니까?

$$ \frac{dy}{dx}=2x $$

Leibniz의 표기법에 대해 좋은 점이 많이 있습니다. 여기에는 어떤 변수에 대해 미분하는지가 명시 적이라는 사실도 포함됩니다. 그러나이 경우 우리가 함수에 대해 이야기하고 있는지 아니면 완전히 다른 것에 대해 이야기하고 있는지 명확하지 않습니다. 다른 문제가 있습니다. 어떤 사람들은 체인 규칙의 라이프니츠 공식을 싫어한다고 말합니다.$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} $$정확하지 않다고 말합니다. 나는 이것이 왜 그런지 정말로 이해하지 못한다. 누군가 자세히 설명해 주시겠습니까?

답변

5 peek-a-boo Aug 21 2020 at 00:23

한 지점의 도함수는 숫자이며 (이 숫자는 특정 몫의 한계로 계산 됨) 각 지점에 대해 그 지점에서 도함수 인 숫자를 지정하면 물론 함수를 얻습니다. $\Bbb{R}\to \Bbb{R}$. Leibniz의 표기법은 도함수가 평가되는 위치를 알려주지 않기 때문에 혼란 스럽기 때문에 함수와 함수 값 사이의 차이를 모호하게 만듭니다. (특히 간단한 문제를 할 때 그렇게 큰 문제로 보이지 않을 수도 있지만, 이러한 기본 개념이 모두 똑바로 유지되지 않으면 다 변수 미적분에서 매우 혼란스러워 질 것입니다).

체인 규칙을 다음과 같이 작성 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}$ 여러 가지 이유로 부정확합니다.

분모에 완전히 관련없는 문자를 도입합니다 (라이브 니츠 표기법의 수정 불가능한 결함).
도함수 (이전 단락에서 설명했듯이 함수)가 평가되는 위치를 알려주지 않습니다 (이를 더 정확하게 만들려고 시도 할 수는 있지만 Leibniz 표기법의 "단순함"을 잃게됩니다).
그만큼 $y$ LHS에서는 완전히 다른 의미를 가지고 있습니다. $y$ RHS에서 (혼란의 가능성이 없다면 큰 문제는 아니지만 ... 불행히도 특히 여러 변수에서 많은 혼란을 유발합니다. 아래 링크 참조)

세 번째는 가장 큰 문제라고 생각합니다. 지금부터 설명하겠습니다. Lagrange의 표기법에서 체인 규칙은 다음과 같이 표현됩니다.$(y\circ u)'(x) = y'(u(x)) \cdot u'(x)$, 또는 함수의 적절한 동등성을 작성하려면 $(y\circ u)' = (y'\circ u)\cdot u'$. 따라서 실제로 관련된 세 가지 기능이 있습니다.$y$, 있습니다 $u$ 그리고 구성이 있습니다 $y\circ u$. 체인 규칙은이 세 가지 기능의 파생물이 어떻게 관련되어 있는지 알려줍니다.

그러나 당신이 쓸 때 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$, 두 가지 기능 만 있다는 잘못된 인상을줍니다. $y$ 과 $u$. 이제 LHS에서 "고려해야 할$y$ 의 기능으로 $x$"RHS에서"$y$ 의 기능입니다 $u$"그래서 이것들은 다른 것입니다. 이것은 물론 맞습니다. 두 가지가 매우 다릅니다 . 그러나 이것은 모두 표기법에 포함되어 있습니다. 아마도 약간 더 나은 쓰기 방법은 다음과 같습니다.$\dfrac{d(y\circ u)}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$. 그러나 이것은 또한 정확하지 않습니다. 기본적으로 체인 규칙을 공식적으로 작성하려는 시도는 큰 악몽입니다. 내가 할 수있는 최선은$x\in \text{domain}(u)$, \begin{align} \dfrac{d(y\circ u)}{dx}\bigg|_x &= \dfrac{dy}{du}\bigg|_{u(x)}\cdot \dfrac{du}{dx}\bigg|_x \end{align} 이것은 문제를 해결합니다 $(2)$ 과 $(3)$ 어느 정도 위에서 언급했지만 $(1)$ 여전히 문제로 남아 있습니다.

당신은 코멘트에서 말했다

나는 그다지 문제가 없다고 생각합니다. $y$ 둘 다에 따라 $u$ 과 $x$, 을 고려하면 $u$ 과 $x$ 관련이 있습니다.

글쎄, 원래 $y$ "에 따라 $u$", 어떻게 갑자기" $x$"? 물론 무슨 뜻인지 알지만,이 의존성을 나타내는 적절한 방법은"$y$ 에 달려있다 $x$", 오히려 복합 함수 $y\circ u$ 에 달려있다 $x$. 여기에서 여러분은 이것이 제가 언어에 현학적 인 것이라고 생각할 수도 있습니다. 그리고 당신 말이 맞아요. 그러나 제가 현학적 인 이유는 잘못된 언어와 표기법이 개념적 오해로 이어 지기 때문입니다 . 이것은 공부할 때의 경험이자이 사이트의 몇 가지 질문에서 관찰 한 내용을 기반으로합니다. 예를 들어, 이 질문 에서 OP는$\frac{\partial F}{\partial y} = 0$ 과 $\frac{\partial F}{\partial y} = -1$. 이 명백한 모순의 이유는$F$의는 실제로 완전히 다른 것입니다 (또한 단일 변수 컨텍스트에서 질문을 기억하지만 찾을 수없는 것 같습니다).

다른 질문에 대해

파생 상품이 무엇인지 묻는다면$f(x)$ 에 관하여 $\frac{x}{2}$,이 질문이 의미가 있습니까? 단순히$f'(\frac{x}{2})$? 아니면 우리는 표현해야합니까$x^2$ 측면에서 $\frac{x}{2}$? 그리고 라그랑주 표기법을 사용하여이 도함수를 어떻게 표현할 수 있습니까?

연이어 대답은 " 이 질문을 이해할 수 있다", "아니오", "예"입니다. 자세히 설명하겠습니다. 그래서 여기서 우리는$f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ 다음과 같이 주어집니다 $f(x) = x^2$. "에 대한 차별화의 개념을 정확하게 만들기 위해$\frac{x}{2}$", 새로운 기능을 도입해야합니다. $\phi:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$, $\phi(t) = 2t$. 그렇다면 당신이 정말로 묻는 것은$f\circ \phi$? 이것이 질문을 공식화하는 적절한 방법 인 이유를 확인하려면\begin{align} f(x) &= x^2 = \left(2 \cdot \dfrac{x}{2}\right)^2 = 4 \left(\frac{x}{2}\right)^2 \end{align} 그리고 그 $(f\circ \phi)(t) = f(2t) = (2t)^2 = 4t^2$. 그래서 이것이 실제로 우리가 원하는 것입니다.

그리고이 경우 \begin{align} (f\circ \phi)'(t) &= f'(\phi(t)) \cdot \phi'(t) \\ &= [2 \cdot \phi(t)] \cdot [2] \\ &= [2\cdot 2t] \cdot 2 \\ &= 8t \end{align}

이것이 어떻게 완전히 다른지 주목하십시오 $f'\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.

일반적으로 "___를 함수로 $\ddot{\smile}$ "대신"___를 @의 함수로 생각 "하고 싶을 때, 추가 구성을 사용해야합니다. 따라서 세 세트가 필요합니다. $X,Y,Z$, 주어진 함수 $f:Y\to Z$ (즉 우리는 요소를 생각합니다 $z\in Z$ "기능"으로 $y\in Y$) 그리고 "z를 함수로 생각하고 싶다면 $x$", 그게 의미하는 바는 어떻게 든 매핑을 얻어야한다는 것입니다. $X\to Z$ 포함하는 $f$어쩐지. 즉, 특정 매핑이 필요합니다.$\phi:X \to Y$ 그런 다음 구성을 고려하십시오. $f\circ \phi$(예를 들어이 답변 의 끝 부분에있는 설명 참조 ).

모든 세트가 동일하면 상황이 약간 혼란 스러울 수 있습니다. $X=Y=Z = \Bbb{R}$하지만이 경우에는 세 가지를 생각해야합니다. $\Bbb{R}$'는 실제 줄의 "다른 복사본"이며 각 함수는 실제 줄의 한 복사본에서 실제 줄의 다른 복사본으로 사용자를 매핑합니다.

편집하다:

여기 Spivak의 미적분 텍스트 (10 장, 33 번 질문)의 한 구절이 있습니다. 여기서 저는 동일한 글자의 이중 용법에 대해 처음 배웠습니다.

J.G. Aug 20 2020 at 22:47

미분은 "바닐라"함수 (예 : 실수에서 실수로의 함수이지만 "바닐라"가 문맥 의존적이라고 생각하는 함수)를 바닐라 함수로 매핑합니다. 지점 에서 의 미분 은 미분 에 의해 바닐라 함수를 얻은 다음 해당 지점에서 해당 함수를 평가합니다. 이 두 프로세스는 커링 / 언커 링 과 관련이 있습니다. 그래서$\frac{d}{dx}$바닐라 함수 대 바닐라 함수 함수로, 여기 에서는 다양한 컨텍스트에서 함수 또는 연산자 라고 부르는 바닐라가 아닌 함수 입니다.

내가 "바닐라 (vanilla)"라고 부르는 비 기능적 함수에 대한 추가 참고 : 이러한 함수는 한 지점의 공간에서 다른 지점으로 매핑 될 수 있으며 차별화는 이러한 함수의 한 공간 에서 다른 공간으로 이동할 수 있습니다 . 예를 들어 ,$\nabla$ 보내다 $f(x,\,y)$, 함수 $\Bbb R^2$ ...에 $\Bbb R$에서 함수로 $\Bbb R^2$ ...에 $\Bbb R^2$.

체인 규칙에 관해서는$$\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\lim_{k\to0}\frac{y(u(x)+k)-y(u(x))}{k}\lim_{H\to0}\frac{u(x+H)-u(x)}{H}.$$Leibniz 공식은 $u$ 독립 변수가되는 $\frac{dy}{du}$ & 그것의 종속 변수 $\frac{du}{dx}$. 똑같이, 우리는$y=x^2$ 에 관하여 $u=\frac{x}{2}$이 방법. 당신은 말할 수 있습니다$$y=4u^2\implies\frac{dy}{du}=8u,$$또는 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.$$\frac{dy}{du}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{du}{dx}}=\frac{2x}{\frac12}=4x=8u.$$