라플라스 방법 $\int_0^1 dx x^\gamma \frac{\partial}{\partial x} P\big(\frac{u}{x}\big) $ 어디 $\gamma \gg 1$ 과 $P(\infty)\rightarrow 0$

Question

나는 다음과 같은 구조를 가지고있다. $$ F(u) = \int_0^1dx x^\gamma \frac{\partial}{\partial x}P\big(\frac{u}{x}\big) $$ 어디 $\gamma\gg 1$ 양의 (정수가 아닌) 지수이고 $P$ 알 수없는 기능입니다. $P(\pm \infty) = 0$. 적분은 값에 의해 지배되기 때문에$x=1$,이 적분의 라플라스 유형 점근 확장을 수행 할 수 있는지 궁금합니다. $P$.

순진하게 말하고 싶어 $x^\gamma \approx 1$ 그래서 나는 사소하게 통합 할 수 있습니다. $F(u) = P(u) - P(\infty) = P(u)$,하지만이 손 흔들기 접근 방식이 올바른지 확신 할 수 없으며 진행 방법이 명확하지 않습니다. 유사한 문제가 있음을 알고 있지만 알 수없는 기능 (예 :$\partial P(u/x)/\partial x$). Laplace와 같은 적분이 지정되지 않은 상태로 수행 될 수 있는지에 대한 생각을 읽으면 매우 기쁩니다.$P$.

Answer 1

적분에 대한 주요 기여는 지역에서 나옵니다. $x\simeq1$,이 영역은 다음과 같이 매우 좁아집니다. $\gamma$증가합니다. 순진한 속임수는 적용 할 수 없습니다.

문제를 단순화하기 위해 먼저 부분 별 통합을 수행 할 수 있습니다. \begin{align} F(u) &= \int_0^1 x^\gamma \frac{\partial}{\partial x}P\left(\frac{u}{x}\right)\,dx\\ &=P(u)-\gamma\int_0^1 x^{\gamma-1} P\left(\frac{u}{x}\right)\,dx \end{align} 이제 대체하여 $x=\exp(-t)$, 적분은 라플라스 적분으로 변환됩니다. \ begin {equation} F (u) = P (u)-\ gamma \ int_0 ^ \ infty e ^ {-\ gamma t} P \ left (ue ^ t \ right) \, dt \ end {equation} If, for$s\to 0^+$ 함수 $P(ue^t)$로 확장 될 수 \은 {식} P (UE ^ t) \ SIM \ sum_ {S = 0} ^ {\ infty} A_ {S} t ^ {(S + \ lambda- \ MU) / \ 뮤} 시작 \ 단부 {equation} 여기서$\lambda$ 과 $\mu$양의 상수 인 경우 Watson 기본형 은 점근 확장을 제공합니다. \ begin {equation} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-\ gamma t} q (t) \ mathrm {d} t \ sim \ sum_ {s = 0} ^ {\ infty} \ Gamma \ left (% \ frac {s + \ lambda} {\ mu} \ right) \ frac {a_ {s}} {\ gamma ^ {(s + \ lambda) / \ mu}} \ end {equation} 특히$P(y)$ 분석적이다 $y=u$, 다음 $\lambda=\mu=1$및 \ begin {equation} P (ue ^ {t}) = P (u) + suP '(u) + \ frac {s ^ 2} {2} u \ left (P'(u) + uP ''( u) \ right) + \ cdots \ end {equation} 따라서\begin{align} F(u)&=P(u)-\gamma\left( \frac{P(u)}{\gamma}+2\frac{uP'(u)}{\gamma^2} +3u\frac{ P'(u)+uP''(u)}{\gamma^2}+\cdots\right)\\ &= -\frac{2uP'(u)}{\gamma}-3\frac{u\left( P'(u)+uP''(u) \right)}{\gamma^2}+\cdots \end{align}