$\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2=\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2$

Aug 19 2020

저는 Stein과 Shakarchi의 Complex Analysis (13 페이지)를 읽고 있습니다. 목표는 증명하는 것입니다$\partial f/\partial z=2\, \partial u/\partial z$ 어디 $f=u+iv$$z=x+iy$. 이 책의 증거는$$\begin{align}\det J_F (x_0,y_0)&=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\\&=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\\&\overset{?}{=}\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2.\end{align}$$"?"로 표시된 마지막 단계를 제외한 모든 것을 이해합니다. 내가 대신 얻는 것은$$\begin{align}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2&=\frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2\partial y^2+\partial u^2\partial x^2}{\partial x^2\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2(\partial x^2+\partial y^2)}{\partial x^2\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2\partial z^2}{\partial x^2\partial y^2}\end{align}$$ 하지만 왜 그게 같아야하는지 이해가 안 돼 $\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2$.

답변

1 peek-a-boo Aug 19 2020 at 16:58

우리는 정의합니다 \begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial z} &:= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x} - i \dfrac{\partial u}{\partial y}\right) \end{align} 따라서 복소수의 계수 (그리고 $u$ 실제 가치), 바로 다음과 같습니다. \begin{align} \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2 &= \left|2\dfrac{\partial u}{\partial z}\right|^2. \end{align}


참고로 우리는 또한 \begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial \overline{z}} &:= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial u}{\partial y}\right) \end{align} 따라서 다음과 같습니다. \begin{align} \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2 &= \left|2\dfrac{\partial u}{\partial z}\right|^2 = \left|2\dfrac{\partial u}{\partial \overline{z}}\right|^2 . \end{align}