로컬은 극히 작은 것을 의미합니까?
나는 일반 상대성 이론을 공부했는데 이해하기 어려운 것이 한 가지 있습니다.
지역은 실제로 무엇을 의미합니까? 몇 가지 예를 들겠습니다.
헤센
Hessian은 함수의 로컬 곡률을 계산하는 방법입니다. 이 경우 지역은 무엇을 의미합니까? 극히 작지 않은 작은 영역이나 극히 작은 영역에 있습니까?
일반 상대성 이론의 리치 텐서
그것은 시공간의 곡률이 지역 지점에서 평평한 공간 (유클리드 공간)에서 얼마나 벗어나는지 설명합니다. 다시 말하지만, 이것은 극히 작은 면적 / 체적이 아닌 작은 면적 / 체적을 의미합니까?
일반적으로 물리에서 로컬은 무엇을 의미하며 "로컬" 이라고 말할 때마다 실제로 무엇을 말하는가 ? 이것은 미래의 개념을 이해하는 데 도움이 될 것입니다.
답변
첫째, 지역성에 대한 수학적 이해가 있습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Local_property. 대략 "로컬"은 "일부 (충분히 작은) 오픈 세트에서"를 의미합니다. 이것은 또한 물리학, 특히 GR에서 매우 관련이 있습니다. 매니 폴드 (예 : 시공간)의 정의는 지역적으로 다음 과 같기 때문입니다.$\mathbb{R}^n$. 더 정확하게는 여기에서 다기관의 모든 지점에 대해 열린 집합에 동종인 해당 지점의 열린 이웃이 있음을 의미합니다.$\mathbb{R}^n$. 이것은 global 이라는 용어와 대조되어야합니다 . 대략적으로 이것은 예를 들어 원으로 설명 할 수 있습니다.$\mathbb{S}^1$, 로컬에서 간격처럼 보입니다. $(0,1) \subset \mathbb{R}$ 동 종파에 의해 $s \mapsto (\cos 2\pi s, \sin 2\pi s)$. 그러나 전 세계적으로 다릅니다. 원을 한 바퀴 돌면 같은 곳에서 끝날 수없는$\mathbb{R}$.
이제 저는 Vadim에 동의합니다. 질문에서 "로컬"은 "무한하게"를 의미합니다. 어떤 지점 (또는 Gradient 등)에서 Hessian을 알면 이웃이 아닌 해당 지점에서만 함수에 대해 알려주기 때문입니다. 그 지점의. 그 점의 극소 한 변화에 대해 알려줍니다. 반면에 특정 가정에서 함수의 모든 도함수를 아는 경우 모든 곳에서 함수를 알 수 있으며 (테일러 확장 참조) 일부 도함수를 알면 근사값을 얻을 수 있습니다. 그 지점에 임의로 가깝게 축소하면 그 지점의 따라서 이전 정의와이 정의 사이에는 약간의 연관성이 있습니다.
또한 미분의 일부 관계를 지역적으로 (즉, 열린 하위 집합에서) 알면 일부 조건과 결합하여 함수를 지역적으로 (또는 전역 적으로) 제공 할 수도 있고 제공하지 않을 수도있는 미분 방정식을 얻을 수 있지만 이것은 또 다른 이야기입니다.
물론 Vadims 답변에서 올바르게 특성화되는 지역 이론 또는 지역 상호 작용의 개념도 있습니다. 예를 들어 입자 물리학에서 이것은 라그랑주 밀도의 상호 작용 항이 동일한 시공간 지점에만 의존한다는 것을 의미합니다. 그렇지 않으면 인과 관계를 위반하게됩니다. 이것은 또 다른 이야기입니다.
네, 현지 가보다 덜 잘 정의 된 용어이지만 여기, 무한히 작은 의미 미소가 . 하나는 또한 유한 차수까지의 미분 방정식을 포함하는 미분 방정식의 관점에서 물리적 현상에 대한 설명을 의미하는 지역 이론에 대해서도 이야기 합니다. 당연히 미분을한다는 것은 극한의 한계를 취하는 것을 의미하기도합니다. 이 맥락에서 비 로컬은 상호 작용을 중재하기위한 연속적인 물리적 실체없이 유한 한 거리를 통해 발생하는 상호 작용과 관련이 있으며, 이는 멀리서 으스스한 행동 으로 유명 합니다.
기존 답변이 암시하지만 정확히 지적하지 않는 것은 지역성에 대한 두 가지 개념이 있으며,이를 구분할 때 판단력을 발휘해야한다는 것입니다.
로컬은 항상 유한 한 "개방 된 이웃"을 의미 할 수 있습니다.
예 : If$A$ 닫혀있다 $k$-다양체에 형성 $M$, 다음과 같은 정리 (Poincaré의 기본형)가 있습니다. $A$지역적으로도 정확합니다. 이것이 의미하는 것은 각 포인트$x\in M$ 열린 이웃이있다 $U$ 그래서 $k-1$-형태 $B$ 의 위에 $U$ 만족스러운 $A|_U=dB$. 도메인$U$ 문제는 유한합니다.
또한 미미한 지역성의 개념이 있는데, 파생물 / 제트를 사용하여 더 엄격하게 말할 수 있습니다. 몇 가지 예 :
예 1 : 모든 메트릭 텐서는 "로컬 플랫"이라고 종종 언급됩니다. 이것이 의미하는 바는$x\in M$ 이웃이있다 $U$ 이것은 좌표계가있는 좌표 이웃입니다. $x^\mu$ 그런 $x$ 우리는 $g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}$ 과 $\partial_\kappa g_{\mu\nu}(x)=0$.
이웃이 $U$유한하지만 결과는 본질적으로 점의 "1 차 무한소 이웃"에 대해서만 유효합니다. 합성 미분 기하학과 같은 다른 프레임 워크를 사용하지 않고는 이것을 엄격하게 설명 할 방법이 없지만 1 차 무한소 이웃이$x$ (가상) 지역 $U_1$ 포함하는 $x$ 어떤 지점에 대해서도 $x+dx$ 그것은 또한 $U_1$ (즉, $x$) 우리는 $f(x+dx)=f(x)+\partial_\mu f(x)dx^\mu$AS를 정확한 매끄러운 기능 (오히려 approximative 이상)의 관계$f$.
예 2 : 차동 연산자. 외부 파생물$d$예를 들어 두 가지 의미에서 모두 로컬 연산자입니다. 유한 이웃 의미에서 로컬 연산자입니다.$A$ 과 $B$ 열린 이웃에 동의하는 차등 형식입니다. $x\in M$, 다음 $dA=dB$ 그 이웃 에 있지만, "무한 로컬"연산자이기도합니다.$A,B$ 미분 형식입니다 $M$ 그런 $x\in M$ 우리는 $j^1_xA=j^1_xB$ (이것은 본질적으로 $A(x)=B(x)$ 모든 차트에서 동일한 1 차 도함수를 $x$) 다음 $dA(x)=dB(x)$.
OP의 예에서 곡률 텐서는 무한한 곡률 측정 값입니다. 곡률 텐서가 한 지점에서 사라지면 해당 지점의 2 차 무한소 이웃 에있는 모든 루프 가 통합 가능한 병렬 전송을 가짐을 의미합니다 .
한 지점에서 곡률이 사라지는 것은 매니 폴드의 지오메트리에 유한 한 베어링이 없습니다.
일을 복잡하게하기 위해, 곡률 텐서가 전체 매니 폴드에서 사라지면 병렬 전송에 미치는 영향도 로컬에 불과하지만 이제는 유한 로컬이라는 점에 주목합니다. 전체 곡률 텐서가 사라지면 병렬 전송이 각 지점의 일부 열린 이웃에서 경로 독립적이라는 것을 보장하지만 해당 전역 문은 순전히 위상 장애로 인해 반드시 사실이 아닌 소위 null로 캡처 된 개념입니다. -홀로 노미 (참조 : Aharonov-Bohm 효과).
일반적으로 말해서 진술이 "지역적으로"사실이라고 말하면 엡실론-델타 주장입니다. $\epsilon>0$, 일부가 있습니다 $\delta$ 입력이 $\delta$이면 출력은 $\epsilon$. 예를 들어, 누군가 지구 표면이 9.8m / s ^ 2에서 가속하는 기준 프레임과 국지적으로 동일하다고 말하면 지구상의 한 지점이 주어 졌을 때 수행하고자하는 일부 계산을 의미합니다.$\epsilon$, 일부가 있습니다 $\delta$ 더 이상 가지 않으면 $\delta$ 그 지점에서 멀어지면 계산은 $\epsilon$ 균일하게 가속하는 기준 좌표계에서 관찰했을 것입니다.
"로컬"이 무엇을 의미하는지 알아 내기위한 좀 더 기하학적 인 방법을 원한다면, 항상 점에 대한 페르미 법선 좌표를 계산할 수 있습니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates
여기서 요점은 주어진 지점에 대해이 좌표계가 해당 지점의 메트릭 텐서 를 minkowski 메트릭과 같게 만들고 Christoffel 기호 는 해당 지점에서 0 으로 만 만든다는 것 입니다. 그런 다음 허용 오차를 선택하면 "지역 이웃"이 가장 큰 Christoffel 기호가 허용 오차보다 작은 값을 갖는 시공간 영역입니다.
특별한 좌표를 포함하지 않는 더 빠른 절차 ( "평탄도에 대한 유사성"에 대한 직접적인 호소가 적음)는 동일한 작업을 수행하는 것입니다. $R^{abcd}R_{abcd}$ (이것은 내가 아는 모든 평평하지 않은 시공간에 대해 0이 아니라고 생각할 수있는 가장 간단한 불변입니다.)는 4의 역 길이 단위를 가지고 있습니다. 따라서 이것의 4 분의 1의 1은 "에 대한 대략적인 척도를 제공 할 것입니다. 곡률 반경 "이 로컬 시공간의"이므로 이보다 작은 거리는 로컬이됩니다.