매개 변수의 정규 시스템의 일부에 의해 생성 된 완료 wrt 이상

Aug 21 2020

허락하다 $R$$d$차원 Noetherian 정규 지역 $k$-algbera ($k$ char (의 모든 필드$k$) = 0, $d \geq$2). 허락하다$x, y$ 매개 변수의 정규 시스템의 일부 $R$. 허락하다$I = (x, y)$ 에 의해 생성 된 이상 $x$$y$$\hat{R}$ 완료를 표시 $R$ 에 관하여 $I$.

사실인가요 $\hat{R} = \frac{R}{I}[[x, y]]$?

나는 그것의 아주 특별한 경우가 사실임을 압니다 $d = 2$$I$최고의 이상입니다. 위의 진술은 정확 해 보이지만 완전히 확실하지는 않습니다. 어떤 도움이라도 좋을 것입니다.

답변

2 ManojKummini Aug 27 2020 at 22:45

추가적으로 $R$ 본질적으로 유한 유형입니다. $k$. 그때$\hat{R}$ 동형으로 매핑되는 서브 링을 포함합니다. $R/I$.

증거 : 참고 $R/I$ 규칙적이고 본질적으로 유한 유형입니다. $k$. 따라서 그것은$0$-부드럽게 $k$(Matsumura, Commutative Ring Theory , Theorem 30.3). 따라서 우리는$R/I$$k$-대수지도 $f_2 : R/I \to R/I^2$. 인수를 반복하면$k$-대수지도 $f_j : R/I \to R/I^j$ 리프팅 $f_{j-1}$, 모든 $j \geq 3$. 따라서 우리는지도를 얻습니다$R/I \to \hat{R}$ 그런 합성물 $R/I \to \hat{R} \to R/I = \hat{R}/I\hat{R}$ 의 정체성 맵입니다 $R/I$.


이전 답변은 여기에 남아 있으므로 아래의 설명이 의미가 있습니다.

$\hat{R}$ 평면이다 $R$-모듈 (Matsumura, Commutative Ring Theory , Theorem 8.8)$\frac{R}{I}[[x,y]]$ 0이 아닌 모든 요소가 $I$ 제로 제수입니다.