만약 $a \in \Bbb Z$ 두 제곱의 합입니다. $a$ 다음 중 어떤 형식으로 쓸 수 없습니까?
허락하다 $a \in \Bbb Z$ 그렇게 될 $a = b^2 + c^2,$ 어디 $b,c \in \Bbb Z \setminus \{0\}.$ 그때 $a$ 다음과 같이 쓸 수 없습니다$:$
$(1)$ $p d^2,$ 어디 $d \in \Bbb Z$ 과 $p$ 함께 프라임 $p \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(2)$ $p q d^2,$ 어디 $d \in \Bbb Z$ 과 $p,q$ 구별되는 소수 $p,q \equiv 3\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(1)$ 왜냐하면 $2^2 + 1^2 = 5 = 5 \cdot 1^2,$ 어디 $d = 1 \in \Bbb Z$ 과 $5$ 함께 프라임 $5 \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$다른 옵션을 어떻게 증명하거나 반증합니까? 이와 관련하여 도움을 주시면 감사하겠습니다.
시간 내 줘서 고마워.
답변
1보다 큰 정수는 소수 분해에 항이없는 경우에만 두 제곱의 합으로 쓸 수 있습니다. $p^k$, 여기서 프라임 $p\equiv 3 \pmod{4}$ 과 $k$ 이상하다.
당신을 위해 $(2)$,와 함께 $p$, 구별되기 때문에 $q$, 다음의 힘 $p$ 에 $a$ 될 것이다 $1$ ...을 더한 $2$ 힘의 배 $p$ 에 $d$, 즉 지수 $p$이상하다. 따라서$p \equiv 3 \pmod{4}$, 그러면 위에 인용 된 정리는 값 이 두 제곱의 합이 될 수 없다고 말합니다 .
인터넷 아카이브에 대한 Wikipedia 기사의 증명 링크 에 "이 항목은 더 이상 사용할 수 없습니다"라고 표시되어 있습니다. 몇 가지 검색을 수행했지만 다른 링크를 찾을 수 없습니다. 그러나 기본적으로 페이지 하단 근처 에 두 제곱의 합에 명시된 동등한 정리 가 있습니다.$4$:
정리 $6$. 양의 정수 n은 두 제곱의 합입니다.$\operatorname{ord}_p(n)$ 모든 소수를위한 것입니다 $p \equiv 3 \pmod{4}$.
그런 다음 동등한 진술에 대한 언급이 이어집니다 (이는 제가 처음에 인용 한 Wikipedia의 정리 진술과 동일합니다).
비고 : 증명에서 사용할 정리의 동등한 진술은 다음과 같습니다. $n$ 다음과 같이 고려하면 두 제곱의 합입니다. $n = ab^2$, 어디 $a$ 소인수가 없다 $p \equiv 3 \pmod{4}$.
이 진술은 기본적으로 다음과 같이 말하는 것과 같으므로 다소 혼란 스러울 수 있습니다. $a$사각형이 없습니다. 어쨌든, 연결된 논문은 정리를 증명하기 위해 사용하는 기본형을 진술하고 증명합니다.$6$.
이미 받아 들여진 대답이 있지만 좀 더 독립적 인 주장을 지적하고 싶었습니다. 2)를 증명하는 방법은 다음과 같은 기본 기본형을 사용하는 것입니다.$p=3$ 모드 $4$ 프라임이고 $a,b$ 다음과 같은 정수입니다. $p|a^2+b^2$, 다음 $p|a$ 과 $p|b$, 따라서 $p^2|a^2+b^2$.
이 기본형은 모든 소수에 대해 $p=3$ 모드 $4$ 및 모든 정수 $a,b$, $v_p(a^2+b^2)$ 짝수, 2).
이제 기본형을 증명하는 방법은 무엇입니까?
우리가 가지고 있다고 가정 $p|a^2+b^2$ 그리고, $p$ 나누지 않는다 $a$. 허락하다$a'$ 역 모드 $p$; 갖다$b'=ba'$. 그때$p|b'^2+1$. 같이$\frac{p-1}{2}$ 이상하다 $(b')^2+1|(b')^{2\times (p-1)/2}+1$, 그래서 $p|(b')^p+b'$. 그러나 Fermat의 작은 정리에 따르면$p|(b')^p-b'$ 그래서 $p|2b'$. 같이$p \neq 2$, $p|b'$, 그래서 $a'$ 코 프라임 $p$) $p|b$. 따라서$p|a^2$ 그래서 $p|a$, 모순.