만약 $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, 어떻게 max { $f$, $g$} 정의?

Question

저는 현재 미터법 공간에 대한 교과서를 읽고 있는데, 정의 된 방법을 어디서도 찾을 수없는 두 가지 기능에 대한 다음 용어를 발견했습니다.

허락하다 $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, 어떻게 max {$f$,$g$} 정의? 비슷하게 min {$f,g$} 정의?

나는에 대해 생각하고 최대 {$f$,$g$} : 이것은 단순히 최대 값을 취하는 것을 의미합니다. $f$ 과 $g$및 최대 {$f$,$g$}은 모든 값으로 구성됩니다. 마찬가지로 최소값을 취하려면$f$ 과 $g$및 min {$f,g$}은 모든 값으로 구성됩니다.

이에 대한 동기는 다음과 같은 질문에 문제가 발생했습니다. $d_1$ 과 $d_2$ (에 대한 $(X_1,d_1)$ 과 $(X_2,d_2)$각각)은 최대 {$d_1$,$d_2$} 측정 항목 $X_1 \times X_2$? 하지만이 질문에 답하기 시작하려면 익숙하지 않은 용어를 정의해야합니다.

Answer 1

각 고정 $x$, $\max\{f(x),g(x)\}$ 두 실수 중 가장 큰 숫자입니다. $f(x)$ 과 $g(x)$. 정의$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ 증명할 수 있습니다 $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$.

Answer 2

이것은 함수 산술 의 일반적인 패턴을 따릅니다 .

• $f+g$ 기능입니다 $x \mapsto f(x) + g(x)$.
• $f-g$ 기능입니다 $x \mapsto f(x) - g(x)$.
• $f\cdot g$ 기능입니다 $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$.
• $f/g$ 기능입니다 $x \mapsto f(x) / g(x)$.
• $\max\{f,g\}$ 기능입니다 $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$.

즉, 함수 표현식은 모든 도메인 변수 슬롯을 단일 도메인 슬롯에 바인딩합니다.

Answer 3

예상대로 정의됩니다. 기능이 있다는 것을 명심하십시오$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

두 함수를 모두 평가할 때 $x$당신은 실수를 얻습니다. 그래서 당신은 걸릴 수 있습니다$\max\{f(x),g(x)\}$, 그리고 모든 것이 현실에서 일어나기 때문에 특별한 정의가 필요하지 않습니다. 그리고 나는 당신이 최대 값을 정의했다고 확신합니다.

또한 $\max(x,y)=\min(-x,-y)$, 그래서 당신은 일종의 두 번째 정의가 필요하지 않습니다.

그리고 최대 2 개의 실수는 다음과 같이 정의됩니다.

$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$

Answer 4

다른 많은 답변에서 알 수 있듯이 $\max\{f,g\}$점 으로 정의됩니다 .

동기를 부여하는 문제에 대해 다음 질문에서 답을 찾으십시오. 최대 2 개의 메트릭이 메트릭입니다.

Answer 5

두 가지 기능이 주어짐 $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 우리는 최대 $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ 으로 $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$그리고 그들의 최소 $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ 으로 $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$