만약 $V_n(a)$ 시퀀스에서 부호 변경을 계산합니다. $\cos a, \cos2a,\cos3a,\ldots,\cos na,$ 그것을 보여 $\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(a)}n=\frac{a}\pi$
허락하다 $0\leq\alpha\leq \pi $. $V_n (\alpha) $ 시퀀스에서 부호 변경 횟수를 나타냅니다. $\cos\alpha,\cos2\alpha,\cos3\alpha,\ldots,\cos n\alpha $. 그럼 증명해$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{V_n (\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}.$$
나는 힌트를 보았다 $\dfrac{V_n (\alpha)}{n}$확률로 간주됩니다. 이 표현이 어떻게 무언가의 확률이라는 뜻입니다. 그렇다면 어떻게 이런 식으로 더 발전 할 수 있습니까?
업데이트 : 이 문제에 대한 해결책이 있습니다.
에 $n\alpha$ 회전 전체 원 회전이 발생하는 횟수 $=\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$
하나의 완전한 원 회전에서 기호 변경이 2 번 발생합니다. 따라서$\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$ 전체 회전 기호 변경 발생 $=2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$
이제 나머지 각도는 $n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor\times2\pi$
0을 부호의 변경으로 간주하면 $\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)$ 과 $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ 그때:-
(1) 만약 $0\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{\pi}{2 }$ 부호가 0 번 변경됨
(2) 만약 $\dfrac{\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{3\pi}{2 }$ 기호가 1 회 변경됨
(3) 만약 $\dfrac{3\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<2\pi$ 기호가 2 번 변경됨
허락하다 $f$ 기능이있다 $$f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)=\begin{cases}0,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=0\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=1\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=2\\ 2,\text{ when } \left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=3\end{cases}$$
따라서 $\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)}{n}$
그 후 $$\dfrac{V_n(\alpha)}{n}\geq \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}$$ 과 $$\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}\leq \dfrac{V_n(\alpha)}{n}$$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ 과 $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$
따라서 샌드위치 정리에 의해 우리는 $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ [증명]
이 올바른지?
답변
- 나는 경우를 가정 할 것이다 $\alpha\in \pi \mathbb{Q}$ 시퀀스가 쉽기 때문에 $\big(\cos(k\alpha)\big)_{k\ge1}$ 이 경우 주기적입니다. $0$ 양수로 $V_{2q}(p\pi/q)=2p\pm 1$ 이 경우 결과가 유지됩니다.
- 이제 우리는 $\alpha\notin \pi\mathbb{Q}$. 이것은 순서가$\big(k\alpha \mod(2\pi)\big)_{k\geq 1}$ 등분 포 $[0,2\pi]$. 등분 산 시퀀스를 참조하십시오 .
이제 $f$ 될 $2\pi$ 에 의해 정의되는주기 함수 $$f(\theta)=\cases{0, & if $\ cos \ theta \ cos (\ theta + \ alpha) \ geq0$,\\ 1,& if $\ cos \ theta \ cos (\ theta + \ alpha) <0$.}$$ 이 정의로 $$V_n(\alpha)=\text{card}\left\{k\in\{1,\ldots,n\}:f(k\alpha)=1\right\}$$ 그러나 우리가 정의한다면 $$\mathcal{I}=\cases{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}2\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right) ,&if $0 <\ 알파 <\ pi / 2$,\cr \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right)\cup\left(\frac{5\pi}{2}-\alpha,2\pi\right] ,&if $\ pi / 2 <\ 알파 <\ pi$.}$$ 그런 다음 $\theta\in[0,2\pi]$ 우리는 $$f(\theta)=1\iff \theta\in\mathcal{I}$$ 따라서 시퀀스의 등분 포는 $$\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(\alpha)}{n}=\frac{\text{length}(\mathcal{I})}{2\pi}=\frac{\alpha}{\pi}$$ 끝난.$\qquad\square$
힌트 :하자 $ b_n\equiv n a \pmod {2\pi}$ 로 형성된 각도를 나타냅니다 $x$-축 $n^{th}$시퀀스 기간. 그것을 가정$b$ 사이의 범위에서 균일하게 분포됩니다. $0$ 과 $2\pi$.
이제 먼저 $0<b_n<\pi/2$ 또는 $3\pi/2<b_n<2\pi$. 다음 단계에서 부호 변경은 다음과 같은 경우에만 발생합니다.$b_{n+1}>\pi/2$. 이것이 발생할 확률은 얼마입니까?$b_{n+1}=b_n+a$?
그런 다음 다음과 같은 경우에 동일한 고려 사항을 반복하십시오. $\pi/2<b_n<3\pi/2$. 기호 변경은 다음 경우에만 발생합니다.$b_{n+1}>3\pi/2$. 이것이 발생할 확률은 얼마입니까?