$\mathbb R$ 생성 된 토폴로지 $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ 의사 소형

Question

UChicago GRE 준비 문제 세트 에서 다음 질문을 해결하려고 합니다.

엔 다우 $\mathbb R$ 올바른 토폴로지를 사용하여 $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ 이 공간을 $X$. 다음 중 거짓 인 것은 무엇입니까?

(...)

(이자형) $X$ pseudocompact입니다 (모든 연속 함수 $f: X \to \mathbb R$ 제한됨)

정답 키 (E)는 거짓이 아닙니다. 나는 전에 pseudocompactness라는 용어에 대해 들어 본 적이 없지만 정의에서 일을 해결하려고 노력하고 있습니다. 내가 올바르게 이해하면 토폴로지$\mathcal O_\tau$ 기초에 의해 생성 $\tau$ 이다 $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. 연속 함수의 기본 속성은 모든 열린 세트의 사전 이미지가 열려 있다는 것입니다. 이것을 사용하여 우리는$f: X \to \mathbb R$ 묶여 있습니까?

Answer 1

힌트 :$X$더 강력한 속성이 있습니다. 모든 연속 실수 값 함수 (사실 Hausdorff 공간에서 값을 갖는 모든 연속 함수)는 일정합니다. 이것은 비어 있지 않은 두 개의 열린 하위 집합이 모두 있다는 사실에서 비롯됩니다.$X$ 교차합니다.

Answer 2

가정 $f:X \to \Bbb R$ 연속적이며 $f$일정하지 않았습니다. 이것은$x_1 \neq x_2 \in X$ 와 $f(x_1) \neq f(x_2)$. (WLOG)가$f(x_1) < f(x_2)$ 다음 찾기 $c\in \Bbb R$ 와 $f(x_1) < c < f(x_2)$. 그때$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ 열려 있고 $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ (둘 다 연속성에 의해 $f$) 및 $O_1$ 과 $O_2$ 따라서 비어 있지 않고 개방되어 있으며 $X$. 그러나 이것은 이러한 세트로 발생하지 않습니다.$X$ 정의상 항상 형식입니다 $(a, +\infty)$ 이들 중 두 개가 교차합니다 (경계점의 최대 값보다 큰 모든 점이 교차점에 있음).

따라서 연속 실수 가치 $f$ 의 위에 $X$ 일정하다 (확실히 경계가 있음), 따라서 $X$ pseudocompact입니다.