마틴 문제를 이용한 레비 공정 생성기의 특성화

Question

허락하다 $(X_t)_{t\ge0}$실제 가치가있는 Lévy 프로세스입니다. 참고$$\mu_t:=\mathcal L(X_t)\;\;\;\text{for }t\ge0$$ 연속 회선 세미 그룹입니다.$^1$. 허락하다$$\tau_x:\mathbb R\to\mathbb R\;,\;\;\;y\mapsto y+x.$$ $(X_t)_{t\ge0}$ 전이 세미 그룹을 사용하는 시간 균일 마르코프 프로세스입니다. $$\kappa_t(x,B)=\tau_x(\mu_t)(B)=\mu_t(B-x)\;\;\;\text{for }(x,B)\in\mathbb R\times\mathcal B(\mathbb R)\text{ and }t\ge0.$$ 만약 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 경계가 있고 균일하게 연속적입니다. $$\left\|\kappa_tf-f\right\|_\infty\xrightarrow{t\to0+}0\tag1.$$ 그래서, $(\kappa_t)_{t\ge0}$ 공간에서 강하게 연속적인 수축 반군입니다. $U$ 저것들의 $f$ 최고 표준을 갖추고 있습니다.

이제 특성 함수를 가정하십시오. $\varphi_\mu$ 의 $\mu:=\mu_1$ 형태가있다 $\varphi_\mu=e^\psi$, 어디 $$\psi(\xi)=-\frac{\sigma^2}2\xi^2+{\rm i}b\xi+\int e^{{\rm i}\xi }x-1-1_{(-1,\:1)}(x){\rm i}\xi x\:\nu({\rm d}x)\;\;\;\text{for all }\xi\in\mathbb R$$ 일부 $b,\sigma\in\mathbb R$ 그리고 $\sigma$-유한 측정 $\nu$ 의 위에 $\mathbb R$ 와 $\nu(\{0\})=0$.

허락하다 $$(Lf)(x):=\frac{\sigma^2}2f''(x)+bf'(x)+\int f(x+y)-f(x)-1_{(-1,\:1)}(x)yf'(x)\;\nu({\rm d}y)$$ ...에 대한 $f\in C^2(\mathbb R)\cap\mathcal L^1(\nu)$.

허락하다 $A$ 생성자를 나타냅니다. $(\kappa_t)_{t\ge0}$ 과 $f\in C^2(\mathbb R)$ 그런 $f,f',f''\in U$. 나는 그것을 보여주는 몇 가지 참조를 알고$f\in\mathcal D(A)$ 과 $Af=Lf$ 적절한 분해를 사용하여 $(X_t)_{t\ge0}$ 또는 푸리에 변환을 고려하여.

나는 우리가 그것을 보여줌으로써 주장을 증명할 수 있는지 정말로 알고 싶습니다. $\left(f(X_t)-\int_0^t(Lf)(X_s)\:{\rm d}s\right)_{t\ge0}$ 마틴 게일이다$^2$. 또는 더 반 집단 이론적 접근 방식을 사용합니다.

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$^1$ 즉 $\mu_{s+t}=\mu_s\ast\mu_t$ 모든 $s,t\ge0$ 과 $$\int f\:{\rm d}\mu_s\xrightarrow{s\to t}\int f\:{\rm d}\mu_t\;\;\;\text{for all }f\in C_b(\mathbb R)\text{ and }t\ge0.$$

$^2$ 아마도 그 프로세스를 사용할 수 있습니다 $M:=X-\int_0^{\;\cdot}Y_s\:{\rm d}s$ 마틴 게일 iff입니다 $N_t:=e^{-\lambda t}X_t+\int_0^te^{-\lambda s}(\lambda X_s-Y_s)\:{\rm d}s$ 마틴 게일입니다.

Answer 1

함수 f (X_t)와 적분 (마틴 게일이 사라진 것)의 라플라스 변환 기대치를 계산 한 다음 두 L의 재 용매를 사용하여 반 그룹의 라플라스 변환을 식별하여 수행 할 수 있다고 생각합니다. A. 이것은 A와 L을 식별하기에 충분해야합니다.

이러한 종류의 접근 방식은 T. Kurtz가 마틴 게일 문제에 대한 그의 작품에서 사용되며 그의 작품은 아마도 귀하의 질문에 대한 답을 찾기에 가장 좋은 장소 일 것입니다.