메트릭 공간에 대해 표시 $(X,d)$, $|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$.

Question

나는 현재 다음 질문에 대한 교과서 (미터법 공간의 코스)에 제공된 증명을 통해 작업하고 있습니다.

만약 $(X,d)$ 메트릭 공간입니다. $|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$ $\forall x,y,z \in X$.

증명 :

$(1)$ 삼각형 부등식에 의해 우리는 $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ 따라서

$(2)$ $d(x,z) - d(y,z) \leq d(x,y)$.

$(3)$ 다시, 삼각형 부등식으로 : $d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$, 따라서 대칭으로 :

$(4)$ $-(d(x,z) - d(y,z)) \leq d(y,x) = d(x,y)$.

$(5)$ 결합 $(2)$ 과 $(4)$ 우리는 얻는다 $|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$.

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내 질문 :

$i)$ 에 $(1)$, 삼각형 부등식으로 어떻게 알 수 있습니까? $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$? 유사하게$(3)$, 어떻게 알 수 있습니까? $d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$?

$ii)$ 에 $(5)$, 저자는 불평등을 "결합"한다는 것은 무엇을 의미합니까? $(2)$ 과 $(4)$최종 결과를 얻으려면? 나는 이것이 약간 모호하고 "결합"이 의미하는 바를 이해하지 못하는 것 같습니다.

내 질문에 대한 이유는 이것에 대한 철저한 증거를 작성할 수 있기를 원하지만 몇 가지를 정리하고 싶었습니다.

Answer 1

i) 삼각형 부등식의 정의는 모두를위한 것입니다. $x, y, z$, 우리는 $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$. 메트릭의 정의에 따라 삼각형 부등식은 참이어야합니다.

ii) 우리는 일반적으로 $|a| = \sup(a, -a)$. 다시 말해,$|a|$ 가장 작은 값 $w$ 성 $w \geq a$ 과 $w \geq -a$. 허락하다$a = d(x, z) - d(y, x)$. 그런 다음 우리는$d(x, y) \geq a$ 과 $d(x, y) \geq -a$. 따라서,$d(x, y) \geq |a|$.