모든 비가역 요소가 전능 한 링

Question

허락하다 $R$ 정체성 요소가있는 반지 $1$ 제로 요소 $0$. 우리는 요소가$a\in R$A는 nilpotent 양의 정수가 존재하는 경우$m$ 그런 $a^m=0$. 분명히 모든 무능한 요소는 뒤집을 수 없습니다.

모든 비가역 요소가 전능하지 않은 링의 특성화가 있습니까? 반지들$\mathbb Z/(p^a)$, 어디 $p$이 반지의 예입니다. 또한 그러한 고리에서$x$ 다음과 같은 경우에만 반전 가능합니다. $1-x$ 뒤집을 수 없습니다.

Answer 1

허락하다 $a$ 전능 정도의 전능 요소 $n$ 에 $R$, 및 $r$ 다른 요소가 $R$.

그럴 수 없습니다 $ar$ 단위입니다. $ar=u$, 다음 $0=a^nr=a^{n-1}u$, 하지만 이후 $a^{n-1}$가정에 의해 0이 아니므로 단위를 곱하면 0이 아닙니다. 따라서$ar$전능하지 않습니다. 그것은 다음과 같습니다$1-ar$모든 것을위한 단위 입니다$r$, 그리고 Jacobson 급진주의 잘 알려진 특성에 의해 ,$a\in J(R)$. 그래서$J(R)$ 모든 무능 요소를 포함하고 비 유닛 자체로 구성되어있어 무의 이상이므로 사실상 모든 무능 요소의 집합과 동일합니다.

또 다른 잘 알려진 연습에 따르면, 비 단위가 덧셈에 의해 닫히면 (여기서와 같이, nonunits = nilpotent는 덧셈에 의해 닫힙니다), $R$ 로컬 링입니다.

따라서 특성화는 다음과 같습니다. $R$ 제이콥슨 라디칼이없는 로컬 링입니다.

교환 링의 경우 무능이 무료로 이상적이라는 것을 알기 때문에 상황이 약간 더 쉽습니다.

더욱이, 그러한 고리에서 𝑥은 1−𝑥이 가역적이지 않은 경우에만 가역적입니다.

하지만 사실이 아닙니다. 에 대한$R=F_3$, $2$ 가역적이므로 $1-2=2$.

무엇 이며 사실은 그 이상이다$x$ 과 $1-x$ 단위입니다 (이것은 로컬 링을 특성화하는 또 다른 방법입니다.)