모든 기능을 찾는 방법 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 그런 $\forall a,b\in\mathbb R$: $f(a)+f\big(a+f(b)\big)=b+f\big(f(a)+f^2(b)\big)$ [복제]
모든 기능 찾기 $ f : \mathbb R \to \mathbb R $ 모두를 위해 $ a , b \in \mathbb R$: $$ f ( a ) + f \big( a + f ( b ) \big) = b + f \big( f ( a ) + f ^ 2 ( b ) \big) \text . $$
여기, 모든 $ n \in \mathbb N $, $ f ^ n $ 나타냅니다 $ n $-번째 반복 $ f $.
지금까지 내 아이디어 :
나는 대체했다 $ ( 0 , x ) $ 결과 : $$ f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) = x + f \big( f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) \big) \text . \tag 1 \label 1 $$
그렇게 말합시다 $ a , b \in \mathbb R $, $ a \ne b $ 과 $ f ( a ) = f ( b ) $. 그런 다음 LHS는 값을 변경하지 않습니다.$ a , b $그러나 RHS는 그렇습니다. 그것은 모순이며 따라서$ f ( a ) = f ( b ) \implies a = b $. 따라서 함수는 주입 적입니다.
우리가 대체하면 $ \big( x , f ( x ) \big) $ 다음과 같이 함수를 교차 할 수 있습니다. $$ f \big( x + f ^ 2 ( x ) \big) = f \big( f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \big) \text ; $$ $$ \therefore \quad x + f ^ 2 ( x ) = f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \text . \tag 2 \label 2 $$
우리가 가정한다면 $ f ( 0 ) = 0 $, 우리는 $ f ^ 2 ( x ) = x + f ^ 3 ( x ) $.
\ eqref {2}를 사용하면$ f ( x ) = 2 x $. 그러나 이것은 함수 방정식을 만족하지 못하므로 결론을 내릴 수 있습니다.$ f ( 0 ) \ne 0 $.
나는 또한 당신이 대체하면 $ f ( x ) $ ...에 대한 $ x $, 당신은 얻을 $ f ( x ) + f ^ 3 ( x ) =f ^ 2 ( x ) + f ^ 4 ( x ) $ 그리고 표현 $ f ^ 3 ( x ) $ \ eqref {2}에서 우리는 놀라운 결과를 얻습니다. $ f ^ 4 ( x ) = x $ 이는 함수가 다음 주기로 반복됨을 의미합니다. $ 4 $ (또는 $ 2 $ 또는 $ 1 $).
계속하는 방법이나 다음에 어떤 대체를 시도해야하는지 잘 모르겠습니다.
답변
기능이 없음을 보여줄 수 있습니다. $ f : \mathbb A \to \mathbb A $ 만족스러운 $$ f ( x ) + f \big( x + f ( y ) \big) = y + f \Big( f ( x ) + f \big( f ( y ) \big) \Big) \tag 0 \label 0 $$ 모든 $ x , y \in \mathbb A $, 어디 $ ( \mathbb A , + ) $어느 하나 아벨 군 와 중립 요소 $ 0 $그리고 역함수 $ - $, 그런 $ b \in \mathbb A $ 와 $ 5 b \ne 0 $. 관심이 있으시면$ \mathbb A = \mathbb R $그룹 운영 $ + $ 0이 아닌 실수를 다음과 같이 선택할 수 있기 때문에 일반적인 실수 추가로 간주됩니다. $ b $.
이것을 보려면 $ f ( x ) $ ...에 대한 $ x $, 그리고 $$ f \big( f ( x ) \big) - y = f \Big( f \big( f ( x ) \big) + f \big( f ( y ) \big) \Big) - f \big( f ( x ) + f ( y ) \big) \\ = f \Big( f \big( f ( y ) \big) + f \big( f ( x ) \big) \Big) - f \big( f ( y ) + f ( x ) \big) = f \big( f ( y ) \big) - x \text , $$ 특히 보여줍니다 $$ f \big( f ( x ) \big) = f \big( f ( 0 ) \big) - x \text . \tag 1 \label{1a} $$ 퍼팅 $ x = 0 $ \ eqref {0}에서 \ eqref {1a}를 사용하면 $$ f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y = y + f \Big( f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y \Big) \text , $$ 어느 것을 허락함으로써 $ a = f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) $ 및 대체 $ - x + a $ ...에 대한 $ y $ 것을 보여줍니다 $$ f ( x ) = 2 x - a \text . \tag 2 \label{2a} $$ \ eqref {1a} 및 \ eqref {2a}를 사용하면 $ 5 x = 0 $ 모든 $ x \in \mathbb A $, 특히 $ x = b $, 이것은 모순입니다.
모든 경우 $ b \in \mathbb A $이다 순서 $ 5 $, 선택 $ a \in \mathbb A $ 그리고 복용 $ f $ \ eqref {2a} 형식이 되려면 \ eqref {0} 방정식이 모두 충족됩니다. $ x , y \in \mathbb A $. 이를 확인하려면 \ eqref {2a}를 사용하여 \ eqref {0}를 다음과 같이 다시 작성하십시오.$$ 2 x - a + 2 ( x + 2 y - a ) - a = y + 2 \big( 2 x - a + 2 ( 2 y - a ) - a \big) - a \text , $$ 또는 동등하게 $$ 4 x + 4 y - 4 a = 4 x + 9 y - 9 a \text , $$ 그 이후로 사실입니다 $ 5 y = 0 $ 과 $ 5 a = 0 $. \ eqref {2a}의 파생은 모든 아벨 그룹 (엘렘 트 순서와 무관)에 대해 유효하므로이 경우에 해당하는 모든 솔루션을 특성화했습니다. 모든 요소의 순서가 다음과 같은 아벨 그룹의 예$ 5 $아르 사소한 기가 상기 환 식기 $ \mathbb Z _ 5 $그리고 직접 제품 의$ \mathbb Z _ 5 $ 그 자체로.