"모든 이상한 순간이 사라진다"에 대한 또 다른 질문
Nov 23 2020
[ 기수 모멘트 = 0 인 비 변성 랜덤 변수의 예에서 영감을 얻은 질문 ]
가정 $X$모든 홀수 모메 넌트가 사라지는 실제 랜덤 변수입니다. 그건$\mathbb E[X^{2n+1}]=0$ ...에 대한 $n=0,1,2,3\cdots$. 그것을 따르는가$X$ 대칭 적으로 분포되어 있습니다. $0$? 그건,$X$ 과 $-X$ 동일한 분포가 있습니다.
참고 : $X$여기에서 발견된다 묶여있다 : 증명이$\mathbb{E} X^k = 0$ 이상하게도 $k$ 암시 $X$ 경계에 대해 대칭 $X$ 특징적인 기능없이
답변
Math1000 Nov 23 2020 at 23:05
허락하다 $X$ 밀도가있다 $$ f(x) = \frac1{48}\left(1-\mathsf{sign}(x)\sin\left(|x|^{\frac14}\right)\right) e^{-|x|^{\frac14}},\ x\in\mathbb R. $$ 그런 다음 각 양의 정수에 대해 $n$ 우리는 $$ \mathbb E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\ \mathsf dx = \frac{(1+(-1)^n)(4(n+1))!}{12}. $$ 바로 다음과 같습니다. $\mathbb E[X^{2n+1}=0]$ 모든 음이 아닌 정수 $n$. 그래도 분명$f$ 짝수 함수가 아니므로 $X$ 0에 대해 대칭이 아닙니다.