모든 점에서 다항식 소멸이 있음을 증명하십시오. $X$ 대수 곡선
허락하다 $X \subset \mathbb{A}^3$ 대수 곡선이고 가정 $X$ 에 평행 한 선을 포함하지 않습니다. $z$-축. 0이 아닌 다항식이 존재 함을 증명$f(x,y)$ 모든 지점에서 사라지는 $X$.
나는이 질문에 차원적인 논쟁이 필요하다고 생각하고 더 정확하게하기 위해 다음 결과를 적용하려고 생각하고 있었다.
만약 $X$ 환원 할 수 없다 $n$-차원 유사 투영 다양성 및 $Y \subset X$ 0의 집합 $m$ 에 양식 $X$, 비어 있지 않은 모든 구성 요소 $Y$ 차원이있다 $\geq n -m$.
그래서 제 경우에는 $X$ 차원이있다 $n= 1$ 대수 곡선이기 때문에 $m = 1$ 과 $Y$ 0의 집합입니다 $f$. 이렇게하면$Y$ 차원이있다 $\geq 0$. 그래서$f$ 일부 지점에서 사라집니다 $X$교차로는 절대 비어 있지 않습니다. 운동을 증명하려면$\dim Y = 1$. 나는 여기에서 어떻게 이동해야할지 그리고이 시점까지 내 추론의 정확성에 대해 확신하지 못한다.
답변
직관적으로 이러한 다항식을 찾는 방법은 곡선의 투영을 고려하는 것입니다. $X$ 에 $xy$-평면 다음이 투영의 이미지에서 사라지는 다항식을 찾습니다. 이것은 다항식이 될 것입니다$x$ 과 $y$ 이것은이 돌기의 모든 수직 섬유를 따라 일정하므로 $X$.
이러한 다항식을 구성하려면 다음을 고려하십시오. $I(X)$ 그리고 받아 $f_1,\cdots,f_n$ 없이 생성 세트로 $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. 조건으로$X$ 곡선이다 $\Bbb A^3$, $n$ 적어도 $2$(이것은 치수가 중요한 유일한 장소입니다). 둘 중 하나라면$f_1$ 또는 $f_2$ 그냥 다항식입니다 $x$ 과 $y$, 우리는 끝났습니다. 그렇지 않으면 결과를 사용할 수 있습니다.$f_1$ 과 $f_2$ 에 관하여 $z$ 다항식을 생성하려면 $x$ 과 $y$ 사방에서 사라지는 $f_1$ 과 $f_2$ 특히, 그러한 다항식은 $X$.