모든 세트에 리지드 엔도 맵이 있습니까?
허락하다 $X$세트가 되십시오. 두 개의 엔도 맵$f,f':X\to X$이다 동형 전단 사 함수가있는 경우$g:X\to X$ 그런 $f'=g\circ f\circ g^{-1}$. bijection$g:X\to X$ 만족스러운 $f=g\circ f\circ g^{-1}$라고 동형의 $f$. 정체성$X$의 사소한 자동 형태입니다$f$. endomap은 사소하지 않은 automorphism을 허용하지 않는 경우 엄격 합니다.
모든 세트에 리지드 엔도 맵이 있습니까?
분명히, 주어진 세트의 엄격한 엔도 맵의 존재는 $X$ 카디널리티에만 의존 $|X|$ 의 $X$.
우리는 다음과 같이 주장합니다.
만약 $|X|\le2^{\aleph_0}$, 다음 $X$ 단단한 엔도 맵이 있습니다.
증명:
허락하다 $X$ 기껏해야 카디널리티 집합 $2^{\aleph_0}$, 그리고 우리가 $X$ 단단한 엔도 맵이 있습니다. $f$. 우리는$X$ 비어 있지 않습니다.
만약 $X=\{1,\ldots,n\}$ 와 $n\ge2$ 우리는 설정 $f(i)=\max\{1,i-1\}$. 만약$X=\mathbb N$ 우리는 설정 $f(i)=\max\{0,i-1\}$.
이제 가정 $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (우리는 쓴다$|X|$ 카디널리티 $X$.)
허락하다 $I$ 단단한 endomaps의 isomorphisms 클래스 집합 $\mathbb N$. 우리는 주장한다
(1) $|I|=2^{\aleph_0}$.
(1)은 $X$단단한 엔도 맵이 있습니다. 우리는 가정 할 수 있습니다$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ 어디 $\bigsqcup$ "이산 적 결합"을 의미합니다. 여기서 $J$ 카디널리티 $|X|$ 비 동형 경질 엔도 맵 세트 $\mathbb N$, 그리고 어디 $X_j=\mathbb N$ 모든 $j\in J$. 각각$j$ 허락하다 $f_j$ 엔도 맵이되다 $X_j$ 유형 $j$. 그때$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (명백한 표기법)은 $X$.
증명하는 것만 남아 있습니다 (1).
허락하다 $X_0,X_1,\ldots$ 비어 있지 않은 유한 부분 집합 $\mathbb N$ 다음과 같이 :
$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$
$\bullet\ X_0=\{0\}$.
에 대한 $n\ge1$ 허락하다 $f_n:X_n\to X_{n-1}$ 섬유가 고유 한 카디널리티를 갖는 맵이 되십시오. $f_0$ 유일한 endomap $X_0$, 정의 $f:\mathbb N\to\mathbb N$ 으로 $f(x)=f_n(x)$ 만약 $x\in X_n$.
그러면 쉽게 알 수 있습니다. $f$ 엄밀하고 우리는 이러한 endomaps의 연속체 많은 동형 클래스를 가지고 있습니다. $\mathbb N$.
답변
질문은 MathOverlow의 YCor에 의해 답변 되었습니다.
위의 문장 만 포함 된 커뮤니티 위키 답변을 게시하고 싶었지만 소프트웨어가이를 댓글로 변환했습니다. 현재 문장과 YCor 답변의 다음 발췌문을 추가 한 후 다시 시도하고 있습니다.
"... 존재합니다 ( $X\neq\emptyset$) 뿌리 트리 구조 $X$그 automorphism 그룹은 사소합니다. 사실, 이것을 부여하고$v_0$ 정점에 대한 루트 $v$ 밝히다 $f(v)$ 같이 $v_0$ 만약 $v_0=v$, 고유 한 정점으로 $[v_0,v]$ 거리 1에서 $v$그렇지 않으면. 그때$f\in X^X$ 및 중앙 집중 장치 $\mathrm{Sym}(X)$ 해당 루트 트리의 자동 변형 그룹으로, 다음으로 축소됩니다. $\{\mathrm{id}_X\}$. "