모든 세트의 클래스가 잘 정리되어 있습니까? (넓은 의미에서)
나는 Well ordered Proper Classes 라는 질문을 보았다 . 다음 질문을하고 싶습니다.
모든 세트의 클래스가 선형으로 정렬되어 있습니까? 내 말은, 우리가 ZFC 집합 이론을 사용한다고 가정하자. (또는 ZFC + Tarski 공리. (1) 그런데 그러한 시스템에 알려진 불일치가 포함되어 있습니까?). 모든 우주는 Zermelo의 정리에 의해 잘 정리되어 있습니다.
(2)하지만 Ord와 Set 사이에 bijection 인 클래스가 있습니까?
나는 우주의 클래스가 선형 적으로 정렬되어 있다고 생각합니다. 우리는 낮은 우주에서 질서를 보존하고 현재 우주와 이전 우주 사이의 집합 이론적 차이의 순서를 추가 할 수 있습니다. (다음 우주에 속하기 때문에 세트이기도합니다.) (3) 내 진술이 유효합니까?
(4) 어떻게 계속하거나 다른 방법으로 Set의 순서를 잘 증명할 수 있습니까?
내가 원하는 것은 모든 적절한 클래스에 "최소한"요소가 있다는 것을 어떻게 든 증명하는 것입니다.
답변
(1) 거의 모든 집합 이론가들은 ZFC와 ZFC + Tarski의 공리 (또는 동등하게 접근 할 수없는 추기경의 적절한 부류를 가진 ZFC)의 일관성을 믿습니다. 물론, Gödel의 불완전 성 정리가 일관성이 있으면 일관성을 증명할 수 없습니다.
(3) 사실, 모든 (Tarski-Grothendieck) 우주의 모음은 잘 정렬되어 있습니다. $V_\kappa$ 접근 할 수없는 일부 $\kappa$, 그리고 접근 불가능한 모든 클래스는 모든 서수 클래스의 하위 클래스입니다. 따라서 그들은 잘 정렬되어 있습니다. (유니버스가 단순한 ZFC 모델을 의미하는 경우 선형 순서가 아닙니다.)
하지만 모든 세트의 등급을 증명할 수는 없습니다. $V$타르 스키의 공리가 있더라도이 사실로부터 잘 정리되어 있습니다. 당신이해야 할 선택 각 단계에서의 정렬 순서를, 그리고 우리가 글로벌 선택의 공리이 없다면 정당하지 않은 적절한 수준의 많은 선택을해야합니다.
(2) 모든 서수 정의 가능 집합 의 클래스 $\mathrm{OD}$ 서수 클래스의 bijective 이미지입니다. $\mathrm{Ord}$. 실제로$X$ 의 bijective 이미지 인 클래스입니다 $\mathrm{Ord}$아래에있는 A 정의 급 전단 사 함수 후$X\subseteq \mathrm{OD}$. 따라서$V\neq \mathrm{OD}$이면 사이에 정의 할 수있는 bijection이 없습니다. $\mathrm{Ord}$ 과 $V$.
정의 가능성을 떨어 뜨려도 사이에 bijection이 있다고 가정 할 이유가 없습니다. $\mathrm{Ord}$ 과 $V$. Mathoverflow 에서 관련 답변 을 참조하십시오 .
(4) 동등하다고 알려져 있습니다.
- $V$ 주문이 잘되어 있고
- 에서 bijection이 있습니다 $\mathrm{Ord}$ ...에 $V$, 및
- 글로벌 선택의 공리.
글로벌 선택의 공리를 의미하는 몇 가지 공리가있다 : 예를 들어, 구성 가능성 공리는 정규 글로벌 잘 순서가 증명한다. 그러나 단순히 ZFC가 Tarski의 공리를 가정하더라도 Global Choice의 공리를 증명하지는 않습니다. 따라서 이론에서 글로벌 선택을 증명할 방법이 없습니다.