무한 차원 벡터 공간의 이중 부분 공간의 이중 소멸자
허락하다 $V$될 무한 차원 벡터 공간 및$V^*$그것의 이중.
선형 부분 공간의 경우$W\subset V$ 밝히다 $W^ \circ\subset V^*$ 선형 형태의 부분 공간으로 $V$ 사라지다 $W$.
이중으로$\Gamma\subset V^*$ 밝히다 $\Gamma^\diamond \subset V$ 벡터 세트로 $v\in V$ 그런 $\gamma(v)=0$ 모든 선형 형태 $\gamma\in \Gamma$.
약간 놀랍지 만 우리가 모든 부분 공간에 대해 가지고 있음을 보여주는 것은 그리 어렵지 않습니다.$W\subset V$ 평등 $(W^\circ) ^\diamond=W$.
하지만 모두를 위해$\Gamma\subset V^*$ 우리는 $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
그리고이 문제가 언급 된 참고 문헌 (기사, 책, 강의 노트 등)이 있습니까?
답변
아니, $(\Gamma^\diamond)^\circ$ 항상 같을 필요는 없다 $\Gamma$. 허락하다$\mathcal B$ 기초가되다 $V$, 그리고 $\Gamma$ '이중'세트의 범위 $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, 그래서 $e_b(c)$는 IS 아이버슨 브래킷 $[b = c]$ 모든 $b, c \in \mathcal B$. 그때$\Gamma^\diamond$ 이다 $0$, 그래서 $(\Gamma^\diamond)^\circ$ 모두 $V^*$; 그러나$\Gamma$ 예를 들어 그 자체에는 $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ 의 $V^*$.
평등은 일반적으로 거짓입니다.
여기에 반례가 있습니다.$v_i, i\in I$ 의 $V$ 좌표 선형 형식 세트를 고려하십시오. $v^*_i, i\in I$.
이러한 형태의 선형 독립적이지만 기초 형성하지 이후를$V$무한 차원입니다.
따라서 이러한 양식을 기초로 작성하십시오.$(v^*_j), j\in J$ 와 $J\setminus I\neq\emptyset$.
고르다$l\in J\setminus I$ 그리고 넣어 $J'=J\setminus \{l\}$
정의하는 경우 $\Gamma \subset V^*$ 에 의해 생성 된 벡터 공간으로 $v_j^*, j\in J'$, 다음 $\Gamma^\diamond =0$ (이미의 부분 공간 이후 $V^*$ 에 의해 생성 $v_i^*, i\in I$ 모든 벡터를 죽인다 $V$) 그래서 $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ 필요한 반례를 산출합니다.